Limite esponenziale

Raijin1
ciao!
non riesco a risolvere questo limite :?:


$lim_(x->infty)(1+4x^2)^(1/logx)$


trasformo in

$lim_(x->infty)e^(log(1+4x^2)/(logx))$

poi dovrei occuparmi della frazione, ma come la svolgo? taylor no perchè non posso, de l'hopital ho provato ma non riesco.
qualcuno può aiutarmi?

Risposte
Noisemaker
De l'Hopital funziona:

\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty} e^{\frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x}} \to\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x} \stackrel{\bf(H) }{=}\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^2}{4x^2+1}=2 \to e^2
\end{align*}

oppure

\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty} e^{\frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x}} &\to\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x} \sim \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln ( 4x^2)}{\ln x}= \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln 4+\ln x^2 }{\ln x}= \lim_{x\to+\infty} \frac{2\ln 2+2\ln x }{\ln x}\\
&= \lim_{x\to+\infty} \frac{2\ln 2 }{\ln x}+ \frac{ 2\ln x }{\ln x}=0+2 \to e^2
\end{align*}

Raijin1
"Noisemaker":
De l'Hopital funziona:

\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty} e^{\frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x}} \to\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x} \stackrel{\bf(H) }{=}\frac{8x^2}{4x^2+1}=2 \to e^2
\end{align*}

oppure

\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty} e^{\frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x}} &\to\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x} \sim \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln ( 4x^2)}{\ln x}= \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln 4+\ln x^2 }{\ln x}= \lim_{x\to+\infty} \frac{2\ln 2+2\ln x }{\ln x}\\
&= \lim_{x\to+\infty} \frac{2\ln 2 }{\ln x}+ \frac{ 2\ln x }{\ln x}=0+2 \to e^2
\end{align*}

non dovrebbe essere 8x derivando $4x^2$ ?

Noisemaker
\begin{align*} \frac{\ln (1+4x^2)}{\ln x}\stackrel{\bf(H) }{=}\frac{\frac{8x}{1+4x^2}}{\frac{1}{x}}=\frac{8x^2}{1+4x^2}\end{align*}

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