Limite di una successione.
Devo provare che :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0\) ho applicato la definizione facendo :
\(\displaystyle |\frac{1}{n^2}|< \epsilon \) e mi è uscito fuori :
\(\displaystyle n>\frac{1}{\sqrt \epsilon} \)
ora però è finta la verifica? Cioè \(\displaystyle n \) va bene solo con quei valori di \(\displaystyle \epsilon \)? Perché ? Inoltre va bene che è dimostrato che il limite è unico ma ho provato che ne so a dimostrare per assurdo che :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=1\)ed ho applicato la definizione trovando :
\(\displaystyle - \epsilon <\frac{1-n^2}{n^2}<\epsilon\)
come posso arrivare ad un assurdo da qui?
\EDIT :errore inziale ma cambia poco ehehe
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0\) ho applicato la definizione facendo :
\(\displaystyle |\frac{1}{n^2}|< \epsilon \) e mi è uscito fuori :
\(\displaystyle n>\frac{1}{\sqrt \epsilon} \)
ora però è finta la verifica? Cioè \(\displaystyle n \) va bene solo con quei valori di \(\displaystyle \epsilon \)? Perché ? Inoltre va bene che è dimostrato che il limite è unico ma ho provato che ne so a dimostrare per assurdo che :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=1\)ed ho applicato la definizione trovando :
\(\displaystyle - \epsilon <\frac{1-n^2}{n^2}<\epsilon\)
come posso arrivare ad un assurdo da qui?
\EDIT :errore inziale ma cambia poco ehehe
Risposte
Per dimostrare l'assurdo ho provato così :
\(\displaystyle |\frac{1}{n^2}-1| <\epsilon \) diviene:
\(\displaystyle 1- \epsilon < \frac{1}{n^2} < 1+\epsilon\) :
diviene :
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}
ma per ipotesi \(\displaystyle n -> \infty \) e quindi non vale per ogni n ,cioè per determionati epsilon non vale la tesi.
Sbagio?
\(\displaystyle |\frac{1}{n^2}-1| <\epsilon \) diviene:
\(\displaystyle 1- \epsilon < \frac{1}{n^2} < 1+\epsilon\) :
diviene :
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}
ma per ipotesi \(\displaystyle n -> \infty \) e quindi non vale per ogni n ,cioè per determionati epsilon non vale la tesi.
Sbagio?
nessuno che mi aiuta? :S
per definzione, si dirà che $l$ è il limite della successione $a_n$ se
\begin{align}
\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N \Rightarrow |a_n-l|<\varepsilon
\end{align}
nel tuo caso , come hai fatto giustamente,
\begin{align}
\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N \Rightarrow \left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon
\end{align}
ovvero,
\begin{align}
\left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{n} <\varepsilon \quad\Leftrightarrow\quad n >\frac{1}{\varepsilon}
\end{align}
se prendi $N=\frac{1}{\varepsilon}$ hai dimostrato che $0$ è il limite di quella successione;
\begin{align}
\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N \Rightarrow |a_n-l|<\varepsilon
\end{align}
nel tuo caso , come hai fatto giustamente,
\begin{align}
\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N \Rightarrow \left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon
\end{align}
ovvero,
\begin{align}
\left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon\quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{n} <\varepsilon \quad\Leftrightarrow\quad n >\frac{1}{\varepsilon}
\end{align}
se prendi $N=\frac{1}{\varepsilon}$ hai dimostrato che $0$ è il limite di quella successione;
ok diciamo che quasi ci sono dove lo sostituisco \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\epsilon}} \)?
Inoltre va bene l'assurdo che ho dimostrato?
Concettualmente parlando: qualsiasi \(\displaystyle n \) preso maggiori di \(\displaystyle N \) vanno bene giusto?
Inoltre va bene l'assurdo che ho dimostrato?
Concettualmente parlando: qualsiasi \(\displaystyle n \) preso maggiori di \(\displaystyle N \) vanno bene giusto?
"Ariz93":
ok diciamo che quasi ci sono dove lo sostituisco \(\displaystyle \frac{1}{\epsilon} \)?
lo sostituisci a $N$ nella definizione
"Ariz93":
Concettualmente parlando: qualsiasi \(\displaystyle n \) preso maggiori di \(\displaystyle N \) vanno bene giusto?
si, verificano la definizione di limite.
la dimostrazione dell'unicità si fa in generale:
Supponiamo che $l_1, l_2$ siano limiti della successione $a_n$. Mostreremo che $l_1 = l_2 .$
Per la definizione di limite, per ogni $\varepsilon> 0$ esistono $N_1$ ed $N_2$ tali che per ogni $n>N_1$ è vera $|a_n-l_1|<\varepsilon ,$ e per ogni $n> N_2$ è vera $|a_n-l_2|<\varepsilon .$ Sia $N$ il massimo tra $N_1$ e $N_2 .$ Allora per ogni $n > N$ abbiamo
\begin{align}|l_1-l_2|<|l_1-a_n|+|a_n-l_2| <2\varepsilon \end{align}
per la disuguaglianza triangolare. Quindi $|l_1-l_2| <2\varepsilon$ per ogni $\varepsilon >0$ , e quindi $|l_1-l_2|=0.$ Quindi $l_1 = l_2 .$
"Noisemaker":
[quote="Ariz93"]ok diciamo che quasi ci sono dove lo sostituisco \(\displaystyle \frac{1}{\epsilon} \)?
lo sostituisci a $N$ nella definizione
"Ariz93":
Concettualmente parlando: qualsiasi \(\displaystyle n \) preso maggiori di \(\displaystyle N \) vanno bene giusto?
si, verificano la definizione di limite.
la dimostrazione dell'unicità si fa in generale:
Supponiamo che $l_1, l_2$ siano limiti della successione $a_n$. Mostreremo che $l_1 = l_2 .$
Per la definizione di limite, per ogni $\varepsilon> 0$ esistono $N_1$ ed $N_2$ tali che per ogni $n>N_1$ è vera $|a_n-l_1|<\varepsilon ,$ e per ogni $n> N_2$ è vera $|a_n-l_2|<\varepsilon .$ Sia $N$ il massimo tra $N_1$ e $N_2 .$ Allora per ogni $n > N$ abbiamo
\begin{align}|l_1-l_2|<|l_1-a_n|+|a_n-l_2| <2\varepsilon \end{align}
per la disuguaglianza triangolare. Quindi $|l_1-l_2| <2\varepsilon$ per ogni $\varepsilon >0$ , e quindi $|l_1-l_2|=0.$ Quindi $l_1 = l_2 .$[/quote]
Si conoscevo quella generale però volevo provarenel mio caso particolare(anche per affinare le mie dimostrazioni per assurdo).
quindi se sostituisco \(\displaystyle N \)alla definzione esce fuori : \(\displaystyle |\frac{1}{N} -l | = \epsilon \) se e solo se :
\(\displaystyle l=0 \) ok?
Comunque grazie per l'impegno anche nel dimostrare e cercare di spiegare nel modo più chiaro possibile e anche scrivere tanto in latex può scocciare! Quindi grazie per la pazienza.
dai due valori a $l_1=0$ e $l_2=1$ nella dimostrazione e prova
Vado direttamente con $ l_2=1 $
\(\displaystyle \begin{align}
\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N \Rightarrow |\frac{1}{n}-1|<\varepsilon
\end{align} \)
mi esce fuori :
\(\displaystyle \frac{1}{1+\epsilon} < n < \frac{1}{1-\epsilon}\)
ma quindi non vale \(\displaystyle \forall n : n< \frac{1}{1+\epsilon} \wedge n> \frac{1}{1-\epsilon} \)
\(\displaystyle \begin{align}
\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N} : \forall n>N \Rightarrow |\frac{1}{n}-1|<\varepsilon
\end{align} \)
mi esce fuori :
\(\displaystyle \frac{1}{1+\epsilon} < n < \frac{1}{1-\epsilon}\)
ma quindi non vale \(\displaystyle \forall n : n< \frac{1}{1+\epsilon} \wedge n> \frac{1}{1-\epsilon} \)
Salve, volevo chiedere una perplessità su un punto della dimostrazione dell'unicità del limite di successioni, ed ho trovato questa discussione a cui collegare la mia domanda. In particolare, mi sfugge la spiegazione di questo passaggio:
Potreste dirmi come giustificare il passaggio da "minore di 2epsilon" a "uguale a zero"?
Quindi $ |l_1-l_2| <2\varepsilon $ per ogni $ \varepsilon >0 $ , e quindi $ |l_1-l_2|=0. $ Quindi $ l_1 = l_2 . $
Potreste dirmi come giustificare il passaggio da "minore di 2epsilon" a "uguale a zero"?
Nota che è "per ogni \(\varepsilon > 0\)", puoi prendere un \( \varepsilon \) arbitrariamente vicino a zero e la relazione continua a valere. Se due numeri reali sono distinti la loro distanza è non nulla, ovvero esistere un \(\mathbb{R} \ni d > 0\) tale che \( \lvert l_2 - l_1 \rvert = d \). Se esistesse un tale \(d\), per ipotesi avresti, scegliendo un \(\varepsilon < d/2 \) : \( \lvert l_2 - l_1 \rvert = d \) e \( \lvert l_2 - l_1 \rvert < d \), assurdo. In soldoni: dal momento che non esistono due numeri reali distinti arbitrariamente vicini (se sono distinti la loro distanza è finita, per quanto piccola), l'unica possibilità è che i due numeri siano uguali.
Se esistesse un tale \(d\), per ipotesi avresti, scegliendo un \(\varepsilon < d/2 \) : \( \lvert l_2 - l_1 \rvert = d \) e \( \lvert l_2 - l_1 \rvert < d \), assurdo.
Premetto di aver riletto più volte la risposta e premetto di essere forse io a confondermi facilmente con il concetto di epsilon piccolissimo positivo, ma ho provato a capire il passaggio:
Se esistesse d, sarebbe [tex]\lvert l_2 - l_1 \rvert = d[/tex], da cui [tex]\lvert l_2 - l_1 \rvert - d<2ɛ[/tex], se considero [tex]- d<2ɛ[/tex] ne segue [tex]- d/2 <ɛ[/tex] [tex]d/2 > - ɛ[/tex]da qui non capisco perché a me viene questo risultato mentre sopra è stato detto [tex]ɛ< d/2[/tex]
La scelta di \(\varepsilon \) è del tutto arbitraria, finché ne prendi uno positivo, come conseguenza della condizione "per ogni". In particolare, quindi, posso scegliere \(\varepsilon < d/2\). Per ipotesi, allora \(\lvert l_2 - l_1 \rvert < 2 \varepsilon = d \), in contraddizione con la definizione di \(d\).
Perfetto, adesso è tutto chiarooo! 
Solo un consiglio "pratico", quando ripeto la dimostrazione oralmente posso dire allora:
sottintendendo tutto questo ragionamento su "d" no? poi, se mi viene chiesto, lo spiego...altrimenti in teoria è una semplice conseguenza logica, giusto?
Solo un consiglio "pratico", quando ripeto la dimostrazione oralmente posso dire allora:Quindi $ |l_1-l_2| <2\varepsilon $ per ogni $ \varepsilon >0 $ , e quindi $ |l_1-l_2|=0. $ Quindi $ l_1 = l_2 . $
sottintendendo tutto questo ragionamento su "d" no? poi, se mi viene chiesto, lo spiego...altrimenti in teoria è una semplice conseguenza logica, giusto?
"NaliB":
quando ripeto la dimostrazione oralmente posso dire allora:
Quindi $ |l_1-l_2| <2\varepsilon $ per ogni $ \varepsilon >0 $ , e quindi $ |l_1-l_2|=0. $ Quindi $ l_1 = l_2 . $
sottintendendo tutto questo ragionamento su "d" no? poi, se mi viene chiesto, lo spiego...altrimenti in teoria è una semplice conseguenza logica, giusto?
Direi di sì
Ho ricontrollato la dimostrazione che avevo negli appunti e è fatta così:
[tex]\lvert l_2 - l_1 \rvert = \lvert (l_2 - a_n) + (a_n- l_1) \rvert \leq \lvert l_2 - a_n \rvert + \rvert a_n- l_1 \rvert = \lvert a_n - l_2 \rvert + \rvert a_n- l_1 \rvert d e \lvert l_2 - l_1 \rvert < ε +ε < 2ε= \lvert l_2 - l_1 \rvert \Rightarrow \lvert l_2 - l_1 \rvert <\lvert l_2 - l_1 \rvert[/tex] e dunque assurdo. Quindi [tex]l_1=l_2[/tex].
è scritta bene comunque? il ragionamento sul 2ε è sempre lo stesso anche in questo caso?
[tex]\lvert l_2 - l_1 \rvert = \lvert (l_2 - a_n) + (a_n- l_1) \rvert \leq \lvert l_2 - a_n \rvert + \rvert a_n- l_1 \rvert = \lvert a_n - l_2 \rvert + \rvert a_n- l_1 \rvert d e \lvert l_2 - l_1 \rvert < ε +ε < 2ε= \lvert l_2 - l_1 \rvert \Rightarrow \lvert l_2 - l_1 \rvert <\lvert l_2 - l_1 \rvert[/tex] e dunque assurdo. Quindi [tex]l_1=l_2[/tex].
è scritta bene comunque? il ragionamento sul 2ε è sempre lo stesso anche in questo caso?
C'è un errore nella resa del codice che hai scritto. Comunque non hai scritto chi è \(a_n\).
La scrivo tutta: sia [tex]\{a_n\}[/tex] un successione con n appartenente ad N, [tex]\exists lim (an)= l \in \Re[/tex] con limite per n-> +∞, ed l è unico. Posto [tex]ε = \lvert l_2 - l_1 \rvert / 2 > 0[/tex] [tex]\lvert l_2 - l_1 \rvert = \lvert (l_2 - a_n) + (a_n- l_1) \rvert \leq \lvert l_2 - a_n \rvert + \rvert a_n- l_1 \rvert = \lvert a_n - l_2 \rvert + \rvert a_n- l_1 \rvert < ε +ε < 2ε= \lvert l_2 - l_1 \rvert \Rightarrow \lvert l_2 - l_1 \rvert <\lvert l_2 - l_1\rvert[/tex]
e dunque assurdo. Quindi [tex]l_1=l_2[/tex].
e dunque assurdo. Quindi [tex]l_1=l_2[/tex].
Ok, direi che torna tutto.
Ok grazie!!
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