Limite di una successione.
Devo provare che :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0\) ho applicato la definizione facendo :
\(\displaystyle |\frac{1}{n^2}|< \epsilon \) e mi è uscito fuori :
\(\displaystyle n>\frac{1}{\sqrt \epsilon} \)
ora però è finta la verifica? Cioè \(\displaystyle n \) va bene solo con quei valori di \(\displaystyle \epsilon \)? Perché ? Inoltre va bene che è dimostrato che il limite è unico ma ho provato che ne so a dimostrare per assurdo che :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=1\)ed ho applicato la definizione trovando :
\(\displaystyle - \epsilon <\frac{1-n^2}{n^2}<\epsilon\)
come posso arrivare ad un assurdo da qui?
\EDIT :errore inziale ma cambia poco ehehe
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0\) ho applicato la definizione facendo :
\(\displaystyle |\frac{1}{n^2}|< \epsilon \) e mi è uscito fuori :
\(\displaystyle n>\frac{1}{\sqrt \epsilon} \)
ora però è finta la verifica? Cioè \(\displaystyle n \) va bene solo con quei valori di \(\displaystyle \epsilon \)? Perché ? Inoltre va bene che è dimostrato che il limite è unico ma ho provato che ne so a dimostrare per assurdo che :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=1\)ed ho applicato la definizione trovando :
\(\displaystyle - \epsilon <\frac{1-n^2}{n^2}<\epsilon\)
come posso arrivare ad un assurdo da qui?
\EDIT :errore inziale ma cambia poco ehehe
Risposte
"NaliB":esiste una proprietà carina:
Quindi $ |l_1-l_2| <2\varepsilon $ per ogni $ \varepsilon >0 $ , e quindi $ |l_1-l_2|=0. $ Quindi $ l_1 = l_2 . $
Prop. 1: siano dati \( a,b \in \Bbb{R}\), allora $$\forall e \in \Bbb{R}_{>0}(a
Prop. 2: siano dati \( a \in \Bbb{R}\), allora $$\forall e \in \Bbb{R}_{>0}(0\leq a
applicare la Prop. 2 al tuo caso è davvero semplice!!
Scusatemi se mi intrometto, ma vorrei chiedere una cosa semplice. Il limite di una successione è derivato dal limite di una funzione, allora perché la dimostrazione del teorema di unicità del limite è diverso?
Io potrei ad esempio dimostrarla solo per il limite di una funzione, il teorema varrà anche per il limite di una successione il quale altro non è che il limite di una funzione con dominio l'insieme dei numeri naturali.
Io potrei ad esempio dimostrarla solo per il limite di una funzione, il teorema varrà anche per il limite di una successione il quale altro non è che il limite di una funzione con dominio l'insieme dei numeri naturali.
@CaMpIoN, perchè forse usi due definizioni di limite, una per le funzioni e una per le successioni... ma non sbagli se usi la definizione topologica di limite per le funzioni anche per le successioni..
modificato
modificato
Il concetto di limite non è definito per funzioni generiche, ma solo per funzioni tra spazi topologici. Quello di cui parli tu è definito per funzioni reali a valori reali, oggetti diversi dalle successioni (funzioni in \(\mathbb{N}\) a valori reali). A priori (in particolare senza ricorrere alla topologia generale) non è possibile estendere il risultato valido per funzioni \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) a funzioni \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) perché le definizioni di limite che si danno in un caso o nell'altro (prima di aver affrontato lo studio della topologia) sono diverse e non è facile trovare un legame senza introdurre strumenti più raffinati. Tuttavia, avendo qualche nozione di topologia, si dimostra che se il codominio è uno spazio di Hausdorff, allora si ha l'unicità del limite nel caso questo esista; il fatto che \(\mathbb{R}\) sia uno spazio di Hausdorff indica che in quel che dici c'è un fondo di verità, ma la questione è un po' più sottile di come la proponi.
@Epimenide93,
sisi concordo e hai perfettamente ragione... per definizione generale intendevo proprio quella topologica..!! Correggo il mio messaggio precedente
Thanks
sisi concordo e hai perfettamente ragione... per definizione generale intendevo proprio quella topologica..!! Correggo il mio messaggio precedente
Thanks
@garnak.olegovitc: Quello che intendevo io è: se io trovo la definizione di limite di una successione (funzione con un dominio particolare) tramite il limite di una funzione allora perché dimostrare il teorema di unicità del limite anche per le successione se l'ho già fatto per le funzioni? Inoltre le dimostrazioni sono anche diverse.
EDIT: Ho notato ora che hai modificato il precedente messaggio..
@Epimenide93: Non so' come in generale si studia il concetto di limite, ma io l'ho studiato considerando una funzione $f: D \to \mathbb{R}$, con $D$ dominio della funzione sottoinsieme dei numeri reali; $\mathbb{N}$ è un sottoinsieme dei numeri reali.
Praticamente una successione è la stessa funzione $f$ con $D=\mathbb{N}$. Praticamente calcolare il limite di una successione significa calcolare il limite di una funzione con $D=\mathbb{N}$, quindi i teoremi dovrebbe ancora valere. Il mio libro infatti non effettua nessuna dimostrazione per le successioni, tra le quali il teorema fondamentale del calcolo del limite. Dice infatti che basta effettuare qualche trasformazione nei teoremi per i limiti delle funzioni per ottenere i relativi teoremi per le successioni.
Praticamente è solo un'adattamento, una semplificazione di notazione, i teoremi sono ancora validi.
Non ho ancora le conoscenze adatte per capire bene il motivo che hai dato, però posso dire ciò che fin'ora mi è stato presentato dal libro.
EDIT: Ho notato ora che hai modificato il precedente messaggio..
@Epimenide93: Non so' come in generale si studia il concetto di limite, ma io l'ho studiato considerando una funzione $f: D \to \mathbb{R}$, con $D$ dominio della funzione sottoinsieme dei numeri reali; $\mathbb{N}$ è un sottoinsieme dei numeri reali.
Praticamente una successione è la stessa funzione $f$ con $D=\mathbb{N}$. Praticamente calcolare il limite di una successione significa calcolare il limite di una funzione con $D=\mathbb{N}$, quindi i teoremi dovrebbe ancora valere. Il mio libro infatti non effettua nessuna dimostrazione per le successioni, tra le quali il teorema fondamentale del calcolo del limite. Dice infatti che basta effettuare qualche trasformazione nei teoremi per i limiti delle funzioni per ottenere i relativi teoremi per le successioni.
Praticamente è solo un'adattamento, una semplificazione di notazione, i teoremi sono ancora validi.
Non ho ancora le conoscenze adatte per capire bene il motivo che hai dato, però posso dire ciò che fin'ora mi è stato presentato dal libro.
"CaMpIoN":perdonami ma qui non ti seguo, sarà l'orario...
@garnak.olegovitc: Quello che intendevo io è: se io trovo la definizione di limite di una successione (funzione con un dominio particolare) tramite il limite di una funzione allora perché dimostrare il teorema di unicità del limite anche per le successione se l'ho già fatto per le funzioni?
Ho modificato il messaggio, pensavo non mi avevi capito.
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