Limite di una serie di funzioni
Salve!
Mi viene chiesto di calcolare il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) f(x)/x $ con
$f(x)= sum_(n = 0)^(+oo ) 4^nsin(x/5^n) $
E' in generale sempre possibile portare il limite dentro il simbolo di sommatoria? O bisogna soddisfare qualche condizione? C'e' qualcosa che mi lascia diffidente (so ad esempio che per le somme di infiniti termini non vale la proprieta' associativa, se non erro) ma sembra proprio la soluzione da seguire per calcolare questo limite, perche' permette di ottenere facilmente una serie geometrica di ragione $4/5$.
G
p.s. nei precedenti punti dell'esercizio ho dimostrato che la serie converge per $x in RR$ puntualmente ma non uniformemente, se questo puo' aiutare.
Mi viene chiesto di calcolare il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) f(x)/x $ con
$f(x)= sum_(n = 0)^(+oo ) 4^nsin(x/5^n) $
E' in generale sempre possibile portare il limite dentro il simbolo di sommatoria? O bisogna soddisfare qualche condizione? C'e' qualcosa che mi lascia diffidente (so ad esempio che per le somme di infiniti termini non vale la proprieta' associativa, se non erro) ma sembra proprio la soluzione da seguire per calcolare questo limite, perche' permette di ottenere facilmente una serie geometrica di ragione $4/5$.
G
p.s. nei precedenti punti dell'esercizio ho dimostrato che la serie converge per $x in RR$ puntualmente ma non uniformemente, se questo puo' aiutare.
Risposte
Non è detto che tu possa sempre passare il limite sotto il segno di serie (o integrale). Per farlo ci sono dei teoremi (teorema convergenza monotona, teorema convergenza dominata).
L'idea del teorema di convergenza dominata di Lebesgue, ad esempio, è di maggiorare il termine generico della serie con uno che non dipende più da $x$ e che sia sommabile. Allora in tal caso, puoi passare sotto al segno di serie.
Nel tuo caso, il termine generico (in modulo) si maggiora con $4^n/5^n$ (per $x \ne 0$) che è sommabile perché la serie associata è geometrica con ragione $<1$, perciò puoi scambiare tranquillamente serie e limite.
L'idea del teorema di convergenza dominata di Lebesgue, ad esempio, è di maggiorare il termine generico della serie con uno che non dipende più da $x$ e che sia sommabile. Allora in tal caso, puoi passare sotto al segno di serie.
Nel tuo caso, il termine generico (in modulo) si maggiora con $4^n/5^n$ (per $x \ne 0$) che è sommabile perché la serie associata è geometrica con ragione $<1$, perciò puoi scambiare tranquillamente serie e limite.
Grazie mille, non avevo pensato al teorema visto per gli integrali, ma avrei dovuto!
G
G
Figurati 
Non so quanto hai visto di queste cose, ma comunque il teorema è valido anche per le serie perché le puoi vedere come integrali rispetto a una certa misura (counting measure). Perciò, funziona alla stessa maniera.
Non so quanto hai visto di queste cose, ma comunque il teorema è valido anche per le serie perché le puoi vedere come integrali rispetto a una certa misura (counting measure). Perciò, funziona alla stessa maniera.
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