Limite di una funzione limitata

[compa90]

Buongiorno, ho il seguente problema:
Sia $f:AsubseteqRR to RR$ funzione limitata, ossia $|f(x)|leM$ per ogni $x in A$, e che $lim_{x tox_0} f(x)=l$. Allora $l le M$

Procedo cosi:

$lim_{x tox_0} f(x)=l<=> forall varepsilon>0\ exists delta=delta(varepsilon)>0 \ : |f(x)-l|
Quindi, per tali valori di $x$, dovrebbe risultare che
$l=f(x)-f(x)+l=f(x)-(f(x)-l) le f(x)-|f(x)-l| le M-varepsilon le M $


Può andare bene? Sono un po' incerto

Saluti

[ProPatria]

"compa90":
$f(x)-(f(x)-l) le f(x)-|f(x)-l|$

questo in generale non è vero, perchè
$f(x)-K >= f(x)-|K|$.

provo io:
$ |f(x)-l|
vuol dire
$-epsilon
cioè
$f(x)-epsilon
dunque (ricordando che $epsilon>0$)
$|l|<|f(x)+epsilon|$

e usando la disuguaglianza triangolare:
$l<|l|<|f(x)+epsilon|<=|f(x)|+epsilon<=M+epsilon$.

in definitiva ho che:
$l
e, da qui, la tesi segue ragionando sull'arbitrarietà di epsilon (in altre parole sul fatto che puoi prenderlo "il più piccolo possibile")

[compa90]

Si grazie !!

[ProPatria]

"compa90":Si grazie !!

figurati

[ViciousGoblin]

Tanto per parlare aggiungo la mia....
La condizione $|f(x)|\leq M$ equivale a $-M\leq f(x)\leq M$.
Qui forse hai già un teorema (di confronto ) che ti dice che, se $f(x)\to l$ allora $-M\leq l\leq M$ (e cioè $|l|\leq M$).
Poi se vuoi dimostrare il teorema di confronto devi sporcarti le mani con gli $\epsilon$ e il modo è quello detto.

[compa90]

"ProPatria":dunque (ricordando che $epsilon>0$) $|l|<|f(x)+epsilon|$

Perché deve essere $epsilon>0$?

[ProPatria]

"compa90":[quote="ProPatria"]dunque (ricordando che $epsilon>0$) $|l|<|f(x)+epsilon|$

Perché deve essere $epsilon>0$?[/quote]

Diciamo che $epsilon>0$ serve perchè valga quella relazione, altrimenti dovrei prendere
$|l|<|f(x)+|epsilon||$,

Ma in realtà è un passaggio inutile, ti chiedo scusa. Una volta ottenuto:
$ f(x)-epsilon
ci basta considerare la parte a destra di $l$ e applicare la disuguaglianza triangolare:
$ l<=|l|<|f(x)+epsilon|<=|f(x)|+epsilon<=M+epsilon $

e da qui la conclusione.

[Mephlip]

@compa90

Tanto per fare il pedante : manca la quantificazione su $M$. Così, la definizione di funzione limitata da te riportata non è corretta. Com'è? Per ogni $x$ esiste $M$? Esiste $M$ per ogni $x$? Esiste $M$ ed esiste $x$? Per ogni $M$ e per ogni $x$?

[compa90]

ProPatria ho sbagliato a porre la domanda chiedo scusa, volevo dire, questa relazione mi sembra che non vale in generale solo per $epsilon>0$

"ProPatria":
$ |l|<|f(x)+epsilon| $

Faccio un esempio, prendo una funzione constante $f(x)=-3$ con $x \ in RR$, allora risulta $l=-3$.
Quindi se prendo $epsilon=-1$, ho $ |l|=|-3|=3$, $|f(x)+epsilon|=|-3+(-1)|=|-3-1|=|-4|=4$)

dov'è il problema?

"Mephlip":@compa90

Tanto per fare il pedante : manca la quantificazione su $ M $. Così, la definizione da te riportata di funzione limitata non è corretta. Com'è? Per ogni $ x $ esiste $ M $? Esiste $ M $ per ogni $ x $? Esiste $ M $ ed esiste $ x $? Per ogni $ M $ e per ogni $ x $?

Fai bene....la definizione di funzione limitata è
$f:AsubseteqRR to RR$ limitata se esiste $M in RR_+:={x \ in RR\ : x ge 0}$ per cui $|f(x)| le M, \ forall x in A$

[ProPatria]

"compa90":ProPatria ho sbagliato a porre la domanda chiedo scusa, volevo dire, questa relazione mi sembra che non vale in generale solo per $epsilon>0$ [quote="ProPatria"]
$ |l|<|f(x)+epsilon| $

Faccio un esempio, prendo una funzione constante $f(x)=-3$ con $x \ in RR$, allora risulta $l=-3$.
Quindi se prendo $epsilon=-1$, ho $ |l|=|-3|=3$, $|f(x)+epsilon|=|-3+(-1)|=|-3-1|=|-4|=4$)

dov'è il problema?
[/quote]
penso che hai ragione, ma tieniti sul fatto che $epsilon>0$, è praticamente la base di metà delle definizioni di analisi 1, che si potrebbero fare anche con epsilon<0 ovviamente... è una convenzione

[compa90]

"ProPatria":[quote="compa90"]ProPatria ho sbagliato a porre la domanda chiedo scusa, volevo dire, questa relazione mi sembra che non vale in generale solo per $epsilon>0$ [quote="ProPatria"]
$ |l|<|f(x)+epsilon| $

Faccio un esempio, prendo una funzione constante $f(x)=-3$ con $x \ in RR$, allora risulta $l=-3$.
Quindi se prendo $epsilon=-1$, ho $ |l|=|-3|=3$, $|f(x)+epsilon|=|-3+(-1)|=|-3-1|=|-4|=4$)

dov'è il problema?
[/quote]
penso che hai ragione, ma tieniti sul fatto che $epsilon>0$, è praticamente la base di metà delle definizioni di analisi 1, che si potrebbero fare anche con epsilon<0 ovviamente... è una convenzione[/quote]

Oddio….. che dici ? Mi sento male… tipo quando dici a un bambino che non esiste babbo natale…veramente?

[ProPatria]

"compa90":Oddio….. che dici ? Mi sento male… tipo quando dici a un bambino che non esiste babbo natale…veramente?

Si...
e ricordati ovviamente che potendo sceglierlo piccolo a piacere la relazione
$ l implica che
$ l<=M $, infatti per quanto piccolo tu possa averlo, sotto a M non puoi scendere

[gugo82]

"ProPatria":[...] tieniti sul fatto che $epsilon>0$, è praticamente la base di metà delle definizioni di analisi 1, che si potrebbero fare anche con epsilon<0 ovviamente...

A me non sembra tanto ovvio... Potresti fare un esempio, per favore?
Quale definizione di Analisi I funziona pure con $epsilon < 0$? E come?

"ProPatria":[...] ricordati ovviamente che potendo sceglierlo [il valore di $epsilon$, n.d. gugo82] piccolo a piacere la relazione
$ l implica che
$ l<=M $, infatti per quanto piccolo tu possa averlo, sotto a M non puoi scendere

Ah... Ma anche se prendi $epsilon < 0$?

[Fioravante Patrone1]

"ProPatria":
...
ovviamente... è una convenzione

Ovviamente* è una convenzione.

La ragione "pratica" per cui si prende epsilon strettamente positivo è che, da un punto di vista più generale (spezi metrici), si parla di distanze. E una distanza è sempre un oggetto maggiore o uguale di 0. Quindi, prendere epsilon uguale a zero vuol dire imporre la coincidenza tra i due oggetti di cui ci stiamo occupando (per via di uno degli assiomi di base degli spazi metrici). Poi, prendere epsilon negativo significa trovarsi con un pugno di mosche in mano, per giunta senza mosche.

PS: ma sei di Busto Arsizio?

* [size=85]noto che l'intercalare tipico di Giorgia Meloni prende piede[/size]

[ProPatria]

"gugo82":
A me non sembra tanto ovvio... Potresti fare un esempio, per favore?
Quale definizione di Analisi I funziona pure con $epsilon < 0$? E come?

limite:
$l=lim_(x->x_0)f(x)$ sse $AAepsilon in (-oo,+oo), EE delta: |f(x)-l|<|epsilon|, AAx: |x-x_0| continuità:
$f(x)$ continua in $x_0$ sse $AAepsilon in (-oo,+oo), EE delta: |f(x)-f(x_0)|<|epsilon|, AAx: |x-x_0|
Non ho mai detto che le definizioni funzionano anche con epsilon<0, piuttosto che si riformulano anche con epsilon<0.

"gugo82":
Ah... Ma anche se prendi $epsilon < 0$?

in quel caso, seguendo i calcoli con le definizioni date sopra, ottieni
$l da cui la tesi.

"Fioravante Patrone":
La ragione "pratica" per cui si prende epsilon strettamente positivo è che, da un punto di vista più generale (spezi metrici), si parla di distanze. E una distanza è sempre un oggetto maggiore o uguale di 0. Quindi, prendere epsilon uguale a zero vuol dire imporre la coincidenza tra i due oggetti di cui ci stiamo occupando (per via di uno degli assiomi di base degli spazi metrici). Poi, prendere epsilon negativo significa trovarsi con un pugno di mosche in mano, per giunta senza mosche.

Di fatto, però, puoi risolvere prendendo il modulo di epsilon e togliendo una restrizione inutile.
Il fatto di aver imparato i concetti in un modo non significa che sia quello più intuitivo per tutti...

"Fioravante Patrone":
PS: ma sei di Busto Arsizio?

No, e se era una battuta scusami ma non l'ho capita

[Fioravante Patrone1]

La Pro Patria di Busto Arsizio
https://it.wikipedia.org/wiki/Aurora_Pro_Patria_1919

Quanto alle considerazioni matematiche, trovo buffo prendere un numero per usare poi il suo valore assoluto. Tanto vale prendere un numero positivo. Ma se a uno piace fare diversamente, che lo faccia.

[ProPatria]

"Fioravante Patrone":La Pro Patria di Busto Arsizio
https://it.wikipedia.org/wiki/Aurora_Pro_Patria_1919

no il nome viene da un gioco che facevo con i miei amici del liceo, che poi si è trasformato dal latino in un "inno al patriottismo" niente di più

[gugo82]

"Fioravante Patrone":Quanto alle considerazioni matematiche, trovo buffo prendere un numero per usare poi il suo valore assoluto. Tanto vale prendere un numero positivo.

Al posto di "buffo" userei "grottesco", ma ci siamo capiti...

"Fioravante Patrone":Ma se a uno piace fare diversamente, che lo faccia.

Ovvio... C'è anche chi riesce a darsi piacere con la carta vetrata, ed è libero di farlo; ma non è che mi interessi granché.

[ProPatria]

"gugo82":[quote="Fioravante Patrone"]Quanto alle considerazioni matematiche, trovo buffo prendere un numero per usare poi il suo valore assoluto. Tanto vale prendere un numero positivo.

Al posto di "buffo" userei "grottesco", ma ci siamo capiti...

"Fioravante Patrone":Ma se a uno piace fare diversamente, che lo faccia.

Ovvio... C'è anche chi riesce a darsi piacere con la carta vetrata, ed è libero di farlo; ma non è che mi interessi granché. [/quote]

Immaginavo che una persona con la mente aperta quanto le convenzioni matematiche del pre-diciannovesimo secolo avrebbe avuto difficoltà, non dico a cercar di risolvere la questione, ma bensì proprio a coglierla...

Parli di "diletto" immagino nell'ambito della ricerca matematica, ma forse dovresti specificarlo meglio perchè sembra l'unico piacere che provi sia quello di imboccare gli studenti di questo forum con le tue convinzioni sul cosa sia "naturale" e cosa no, e l'unica cosa di naturale che vedo è che riesci sempre a farti odiare da tutti gugo...

[gugo82]

"ProPatria":[quote="gugo82"][quote="Fioravante Patrone"]Quanto alle considerazioni matematiche, trovo buffo prendere un numero per usare poi il suo valore assoluto. Tanto vale prendere un numero positivo.

Al posto di "buffo" userei "grottesco", ma ci siamo capiti...

"Fioravante Patrone":Ma se a uno piace fare diversamente, che lo faccia.

Ovvio... C'è anche chi riesce a darsi piacere con la carta vetrata, ed è libero di farlo; ma non è che mi interessi granché. [/quote]

Immaginavo che una persona con la mente aperta quanto le convenzioni matematiche del pre-diciannovesimo secolo avrebbe avuto difficoltà, non dico a cercar di risolvere la questione, ma bensì proprio a coglierla...[/quote]
Quali sarebbero le "convenzioni matematiche del pre-diciannovesimo secolo"? E come sarebbero legate al problema affrontato ed alla mia "apertura mentale"?
Non riesco a capire il riferimento storico, quindi se puoi chiarire...

Il punto non è che non veda la questione; ma che, come già diceva FP, pur avendola vista e pur avendo capito la tua proposta, ritengo che non valga la pena arrovellarcisi troppo perché 1) il gioco non vale la candela e soprattutto 2) aggiunge quasi nulla alla comprensione delle definizioni fondamentali dell'Analisi e del funzionamento del valore assoluto.[nota]E per fortuna ho studiato abbastanza Matematica, tanta Analisi, ed ho sufficiente esperienza didattica per giudicare con cognizione di causa.[/nota]

"ProPatria":Parli di "diletto" immagino nell'ambito della ricerca matematica, ma forse dovresti specificarlo meglio perchè sembra l'unico piacere che provi sia quello di imboccare gli studenti di questo forum con le tue convinzioni sul cosa sia "naturale" e cosa no, e l'unica cosa di naturale che vedo è che riesci sempre a farti odiare da tutti gugo...

Credo che "naturale" sia un aggettivo che ho usato due volte -nel senso che intendi tu- su più di 26K post ed "imboccare gli studenti" non è nel mio stile... Probabilmente mi confondi con qualcun altro.

[ProPatria]

"gugo82":
[quote="ProPatria"]Parli di "diletto" immagino nell'ambito della ricerca matematica, ma forse dovresti specificarlo meglio perchè sembra l'unico piacere che provi sia quello di imboccare gli studenti di questo forum con le tue convinzioni sul cosa sia "naturale" e cosa no, e l'unica cosa di naturale che vedo è che riesci sempre a farti odiare da tutti gugo...

Credo che "naturale" sia un aggettivo che ho usato due volte -nel senso che intendi tu- su più di 26K post ed "imboccare gli studenti" non è nel mio stile... Probabilmente mi confondi con qualcun altro.[/quote]

Scusami ma se dici questo

"gugo82":
Ovvio... C'è anche chi riesce a darsi piacere con la carta vetrata, ed è libero di farlo; ma non è che mi interessi granché.

A me sembra tu stia affermando che ci sia un modo "giusto", (naturale, corretto, a cui la mente umana è più propensa, ci siamo capiti insomma...), e uno "sbagliato", dando quindi per scontato che il tuo modo sia quello giusto.

Riguardo il resto non ho mai messo in dubbio le tue competenze, e io mi reputo, rispetto a te e a tanti altri del forum, un incapace completo.
Però posso dirti, da parte mia, che avevo risposto a questo thread con tutta l'intenzione possibile di aiutare qualcuno, e il fatto di essere deriso dopo aver proposto un interpretazione "un po' diversa" di una definizione (che potrà essere ridicola quanto vuoi, non è questo il punto, come non era il punto del thread tra l'altro), sinceramente è qualcosa che, detto al naturale, "ti fa passà la voglia". E non credo che tu, moderatore, abbia l'ambizione di fare questo effetto, anche perchè tante volte è la difficoltà stessa degli argomenti che studiamo che ci da' questa sensazione, e non credo ce ne voglia dell'altra.

Detto questo ti auguro tutto il meglio, continuando a pensare che un po' di sensibilità tante volte è quel che manca per evitare tante questioni inutili.