Limite di successione con e e seno

[chiara_genova]

ho problemi ad impostare la risoluzione di questo limite:

$lim_(nto+oo)(e^(-1/n^2)-1)/(sin^2(1/n))$

grazie a chi potrà aiutarmi

[gigiMat]

Nono vorrei sbagliarmi ma mi sembra un limite elementare nel senso che lo si può risolvere senza tecniche particolari, basta far tendere nel modo corretto la $n->+oo$ e calcolare i vari valori nell'ordine giusto...

[Luca.Lussardi]

Infatti non si tratta di una forma indeterminata.

[chiara_genova]

dunque, io provavo a ragionare per infiniti/infinitesimi: $e^(-1/n^2)$ tende a 1, $sin^2(1/n)$ tende a 0.. $e^x$ ha grado maggiore del seno ..perciò questo limite dovrebbe risultare 0 .. è corretto?

[gigiMat]

Non capisco:

è $e^(-1/n^2)$ oppure $e^(-n^2)$

[chiara_genova]

ah, giusto..la prima che hai scritto.. quindi no, $e^(1/x)$ ha grado minore del seno.. dunque $+oo$ ?

[gigiMat]

Scusami sono un pò capra e non riesco a capire bene il testo. hai voglia di riscriverlo correttamente ???
Se tu ti riferisci al rapporto tra $e^(1/x)$ e $sin(1/x)$ per $x->+oo$ non hai bisogno di confrontarli perchè il primo non è un infinitesimo....

[chiara_genova]

no, scusami tu che sto pensando e scrivendo contemporaneamente troppo velocemente

sto confrontando $e^(-1/n^2)$ con $sin^2(1/n)$

[Luca.Lussardi]

Ti conviene riscrivere per bene il testo all'inizio se no non si capisce niente.

[Ravok]

"chiara_genova":no, scusami tu che sto pensando e scrivendo contemporaneamente troppo velocemente

sto confrontando $e^(-1/n^2)$ con $sin^2(1/n)$

$e^-(n^2)=1/(e^(n^2))$..
così dovresti riuscire senza problemi, giusto?
R

[chiara_genova]

perdono, perdono, ho sbagliato a scrivere il testo!!


$lim_(nto+oo)(e^(-1/n^2)-1)/(sin^2(1/n))$

[Ravok]

"chiara_genova":perdono, perdono, ho sbagliato a scrivere il testo!!


$lim_(nto+oo)(e^(-1/n^2)-1)/(sin^2(1/n))$

Ti consiglierei di dividere il limite in differenza di limiti, riscrivendo $e^(-1/n^2)$ come $1/(e^(1/(n^2))$
che ne dici?
R

[chiara_genova]

allora, se faccio così so che $1/(1/e^(n^2))$ tende a $+oo$..quindi?

[Luca.Lussardi]

Ti conviene vedere
$(e^(-1/n^2)-1)/(sen^2(1/n))=(e^(-1/n^2)-1)/(-1/n^2)(-1/n^2)/(sen^2(1/n))$.

[Ravok]

"chiara_genova":allora, se faccio così so che $1/(1/e^(n^2))$ tende a $+oo$..quindi?

Allora hai che
$lim_(nto+oo)(e^(-1/n^2)-1)/(sin^2(1/n))=$
$lim_(n->infty)1/(e^(1/n^2)sen^2(1/n))-1/(sen^2(1/n))=$

e da qui riesci ad arrivare alla fine...
R

[Luca.Lussardi]

Mica tanto Ravok, non mi pare la tua strada porti a qualcosa...

[chiara_genova]

ecco, aspetta.. fra $e^(1/(n^2))$ e $sin^2(1/n)$ quale delle due ha il grado maggiore? alla fine è questo quello a cui non riesco ad arrivare..

[Luca.Lussardi]

Non le puoi confrontare! stai sbagliando strada, ti conviene seguire quella che ho indicato io, se no non ne esci.

[Ravok]

"Luca.Lussardi":Mica tanto Ravok, non mi pare la tua strada porti a qualcosa...

Hai ragione Luca...
ma adesso mi sono impegolato anche io...
R

[chiara_genova]

"Luca.Lussardi":Non le puoi confrontare! stai sbagliando strada, ti conviene seguire quella che ho indicato io, se no non ne esci.

ah cavolo... ok, provo a fare come dici tu, grazie luca

[gigiMat]

Secondo me confrontando questi due termini non raggiungi niente....

Vediamo se così è giusto:

$lim_(nto+oo)(e^(-1/n^2)-1)/(sin^2(1/n))$=$lim_(nto+oo)(e^(-1/n^2)-1)/(sin^2(1/n))*((1/(1/n^2))/(1/(1/n^2)))$=
$lim_(nto+oo)((e^(-1/n^2)-1)/(1/n^2))/((sin^2(1/n))/(1/n^2))$

ora fai la sostituzione $m=1/n$ e $n->+oo$ diventa $m->0$

Il tutto diventa:
$lim_(mto+0)((e^(-m^2)-1)/(m^2))/((sin^2(m))/(m^2))$ = -1

Perchè sono due limiti riducibili a limiti notevoli.
Prendete il tutto col beneficio del dubbio
ciao