Limite di successione $a_{n} \rightarrow \infty$ per $n\rightarrow \infty $

[Shiroga]

Salve vorrei chiedere informazione a proposito di come svolgere i limiti di successioni di questo tipo $\lim_{n\to\infty}a_{n} = \pm\infty $
Sul libro di teoria affronta l'argomento in questo modo:

Una successione si dice limitata se esiste un numero reale M tale che

$ |a_{n}| \leq m $ - $∀n ∈ N$

che si può scrivere anche come

$ -M\leq a_{n} \leq M$ - $∀n ∈ N$

ora supponiamo che $a_{n}$ converga a a e scegliamo $\epsilon = 1$ esisterà quindi un indice $ \nu $ per cui $|a_{n} - a| < 1$ per ogni $n > \nu$ Quindi utilizziamo la disuguaglianza triangolare

$ |a_{n}| = |(a_{n} - a) + a| \leq |a_{n} - a| + |a|< 1 + |a| $

Ma allora per ogni $n ∈ N$ si ha:

$ |a_{n}| \leq = max{|a_{1}|,|a_{2}|,....,|a_{\nu}|,1+|a|} $.


Ora da questa spiegazione non mi è molto chiaro come affrontare un esercizio del genere:

$\lim_{n\to\infty}(n^{2}-2n -3) = +\infty $

o

$\lim_{n\to\infty}(5-n^{2}) = -\infty $

Grazie mille a tutti!!

[Noisemaker]

sono successioni limitate quelle ?

[Shiroga]

Si, chiedo scusa per non averlo detto esplicitamente nel post.

[Noisemaker]

no , la mia è una domanda.... riesci a trovare una costante $M$ tale per cui,ad esempio, $a_n:=|n^2-2n-3|

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[Mino_01]

"Shiroga":Salve vorrei chiedere informazione a proposito di come svolgere i limiti di successioni di questo tipo $ \lim_{n\to\infty}a_{n} = \pm\infty $
Sul libro di teoria affronta l'argomento in questo modo:

Una successione si dice limitata se esiste un numero reale M tale che

$ |a_{n}| \leq m $ - $ ∀n ∈ N $

che si può scrivere anche come

$ -M\leq a_{n} \leq M $ - $ ∀n ∈ N $

ora supponiamo che $ a_{n} $ converga a a e scegliamo $ \epsilon = 1 $ esisterà quindi un indice $ \nu $ per cui $ |a_{n} - a| < 1 $ per ogni $ n > \nu $ Quindi utilizziamo la disuguaglianza triangolare

$ |a_{n}| = |(a_{n} - a) + a| \leq |a_{n} - a| + |a|< 1 + |a| $

Ma allora per ogni $ n ∈ N $ si ha:

$ |a_{n}| \leq = max{|a_{1}|,|a_{2}|,....,|a_{\nu}|,1+|a|} $.


Ora da questa spiegazione non mi è molto chiaro come affrontare un esercizio del genere:

Buona sera
La tua dimostrazione è utile per comprendere che ogni successione che converge è limitata.

La useresti per cercare il limite?

Se la successione è limitata certamente non diverge.
Se la successione è non limitata non è detto diverge ma certamente non converge.
Se la successione è limitata poi non è detto che converge.

Ciao e buono studio
Mino