Limite di successione
Salve mi servirebbe una mano per il seguente limite di successione per \(\displaystyle n\longrightarrow\infty\)
non so veramente dove mettere mano e ne ho altri del genere quindi spiegateme almeno uno per favore..
la successione è \(\displaystyle \frac{\sqrt{n+\sqrt{n+3}}-n5^{\sqrt{n}}+3}{(n^5+3arctg(n!)+7)^{\frac{2}{7}}}\)
Se no ditemi da cosa devo partire e cosa devo provare a fare
come impostarlo, non ne ho idea. Grazie
non so veramente dove mettere mano e ne ho altri del genere quindi spiegateme almeno uno per favore..
la successione è \(\displaystyle \frac{\sqrt{n+\sqrt{n+3}}-n5^{\sqrt{n}}+3}{(n^5+3arctg(n!)+7)^{\frac{2}{7}}}\)
Se no ditemi da cosa devo partire e cosa devo provare a fare
come impostarlo, non ne ho idea. Grazie
Risposte
Per prima cosa, ragiona sugli infiniti/infinitesimi presenti. Ad esempio al numeratore: cosa accade per $n\to+\infty$ a $\arctan(n!)$?
"ciampax":
Per prima cosa, ragiona sugli infiniti/infinitesimi presenti. Ad esempio al numeratore: cosa accade per $n\to+\infty$ a $\arctan(n!)$?
non dovrebbe andare a \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) mezzi?
Diciamo quindi che al denominatore diventa \(\displaystyle \overline{n^\frac{10}{7}} \)
Al numeratore come mi devo comportare con \(\displaystyle -n5^{\sqrt{n}} \)
Ottimo. Ora, cosa puoi dire del numeratore? Fai attenzione che hai una forma indeterminata $\infty-\infty$ quindi per prima cosa devi eliminare quella.
moltiplico e divido per \(\displaystyle {\sqrt{n+\sqrt{n+3}}+n5^{\sqrt{n}}} \)??? possibile? con il +3 che ci faccio?
ma è \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}} \) che mi frega..
ma è \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}} \) che mi frega..
Prova a raccogliere $n 5^{\sqrt{n}}$ e vedi cosa accade al rapporto della radice con tale termine (il 3 puoi anche farlo sparire).
non so se ho capito bene..devo raccogliere \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}} \) qui \(\displaystyle {\sqrt{n+\sqrt{n+3}}+n5^{\sqrt{n}}} \)??
possibile rimanga solo \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}} \)??
possibile rimanga solo \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}} \)??
Possibilissimo: se ci pensi un attimo, dovresti anche capire perché (la funzione che raccogli è un esponenziale, quindi...)
P.S.: io comunque intendevo di raccogliere direttamente nella successione, senza razionalizzare.
P.S.: io comunque intendevo di raccogliere direttamente nella successione, senza razionalizzare.
io ho fatto questo ragionamento
da qui \(\displaystyle {\sqrt{n+\sqrt{n+3}}} \)
raccolgo n lo porto fuori e mi diventa \(\displaystyle \sqrt{n}(1+\)qualcosa che fa 0 perchè diviso da infinito)
quindi ho \(\displaystyle {\sqrt{n}+n5^{\sqrt{n}}} \)
raccolgo \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}} \)
e mi diventa \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}}(1-\frac{1}{\sqrt{n}5^{\sqrt{n}}}) \) quindi \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}5^{\sqrt{n}}}=0 \) e resta \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}}(1)= n5^{\sqrt{n}} \)
giusto? te come avresti detto?.
P.S. si non ho razionalizzato..ho sbagliato il segno
da qui \(\displaystyle {\sqrt{n+\sqrt{n+3}}} \)
raccolgo n lo porto fuori e mi diventa \(\displaystyle \sqrt{n}(1+\)qualcosa che fa 0 perchè diviso da infinito)
quindi ho \(\displaystyle {\sqrt{n}+n5^{\sqrt{n}}} \)
raccolgo \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}} \)
e mi diventa \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}}(1-\frac{1}{\sqrt{n}5^{\sqrt{n}}}) \) quindi \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}5^{\sqrt{n}}}=0 \) e resta \(\displaystyle n5^{\sqrt{n}}(1)= n5^{\sqrt{n}} \)
giusto? te come avresti detto?.
P.S. si non ho razionalizzato..ho sbagliato il segno
Perfetto, è esattamente ciò che devi fare. Pertanto il numeratore si comporta come $-n 5^{\sqrt{n}}$ e a questo punto hai praticamente concluso perché...
"ciampax":
Perfetto, è esattamente ciò che devi fare. Pertanto il numeratore si comporta come $-n 5^{\sqrt{n}}$ e a questo punto hai praticamente concluso perché...
Mi verrebbe da dire che essendo 10/7>1 il denominatore arriva prima ad infinito quindi il risultato è zero. Ma \(\displaystyle 5^{\sqrt{n}} \) la \(\displaystyle \sqrt{n} \) all'esponento non la considero? la lascio cosi come fosse un semplice esponente?
Eh no, quell'esponenziale è fondamentale!
appunto 
mmm come devo fare? metto il logaritmo per tirarla giu? ammetto di star tirando a caso ora perchè non lo so
mmm come devo fare? metto il logaritmo per tirarla giu? ammetto di star tirando a caso ora perchè non lo so
Visto che la successione si comporta come $-{n 5^{\sqrt{n}}}/{n^{{10}/7}}=-{5^{\sqrt{n}}}/{n^{3/7}}$ basta considerare quale dei due infiniti è più grande.
"ciampax":
Visto che la successione si comporta come $-{n 5^{\sqrt{n}}}/{n^{{10}/7}}=-{5^{\sqrt{n}}}/{n^{3/7}}$ basta considerare quale dei due infiniti è più grande.
ok mi verrebbe da dire che il numeratore tende ad infinito più velocemente però il risultato è zero.
Io come risultato sul libro ho\(\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{n^{{10}/7}} =0\)
OK ho risolto mi sono accorto che l'esercizio è \(\displaystyle n5^{-\sqrt{n}} \) quindi diventa \(\displaystyle \frac{n}{5^{\sqrt{n}}} \) che è un limite notevole e diventa zero..quindi è giusto che al numeratore resta \(\displaystyle \sqrt{n} \)
Ciampax grazie mille per l'aiuto
mi sono accorto che l'esercizio è \(\displaystyle n5^{-\sqrt{n}} \) quindi diventa \(\displaystyle \frac{n}{5^{\sqrt{n}}} \) che è un limite notevole e diventa zero..quindi è giusto che al numeratore resta \(\displaystyle \sqrt{n} \)Ciampax grazie mille per l'aiuto
Prego: ma se nella traccia c'è $5^{-\sqrt{n}}$ devi fare un altro tipo di considerazione.
Quale? non è giusto il fatto che stia al denominatore?
P.S. colgo l'occasione per chiederti un'altra cosina su una cosa:
da cosa decudo che \(\displaystyle \frac{5\cdotp2^n\sqrt{n}}{\sqrt[4]{20^n}} \) il numeratore arriva ad infinito meno velocemente del denominatore? dal fatto che \(\displaystyle 2^n<\sqrt[4]{20^n}\) ???
P.S. colgo l'occasione per chiederti un'altra cosina su una cosa:
da cosa decudo che \(\displaystyle \frac{5\cdotp2^n\sqrt{n}}{\sqrt[4]{20^n}} \) il numeratore arriva ad infinito meno velocemente del denominatore? dal fatto che \(\displaystyle 2^n<\sqrt[4]{20^n}\) ???
Per il precedente, se hai $n 5^{-\sqrt{n}}\to 0$ per $n\to+\infty$, pertanto il numeratore si comporta come $\sqrt{n}$.
Per la seconda, potresti semplicemente scrivere tutto come
$5\cdot{\sqrt{n}}/{(\root[4]{20}/2)^n}=5\cdot{n}/{a^n}\cdot{\sqrt{n}}/n$ dove $a=\root[4]{20}/2>1$
Dal momento che $n/{a^n}\to 0$ per $n\to+\infty$ e ${\sqrt{n}}/n=1/{\sqrt{n}}\to 0$, il limite è zero.
Per la seconda, potresti semplicemente scrivere tutto come
$5\cdot{\sqrt{n}}/{(\root[4]{20}/2)^n}=5\cdot{n}/{a^n}\cdot{\sqrt{n}}/n$ dove $a=\root[4]{20}/2>1$
Dal momento che $n/{a^n}\to 0$ per $n\to+\infty$ e ${\sqrt{n}}/n=1/{\sqrt{n}}\to 0$, il limite è zero.
Io l'ho detto che sei bravo..ammazza grazie mille veramente
Visto che non mi sembra di aver letto nel regolamento che non posso farti una domanda su un'altra cosa e essendo molto bravo non voglio perdere l'opportunità della tua risposta
potresti dirmi anche se è possibile che i \(\displaystyle 2^{log(n!)}=(n!)^{log2} \) con base 3
E' l'ultima cosa che ti chiedo per oggi, ma sappi che mi hai aiutato e chiarito moltissime cose..
Visto che non mi sembra di aver letto nel regolamento che non posso farti una domanda su un'altra cosa e essendo molto bravo non voglio perdere l'opportunità della tua risposta
potresti dirmi anche se è possibile che i \(\displaystyle 2^{log(n!)}=(n!)^{log2} \) con base 3
E' l'ultima cosa che ti chiedo per oggi, ma sappi che mi hai aiutato e chiarito moltissime cose..
E' abbastanza facile dimostrare che, se $\alpha,\beta>0$ allora per qualsiasi base $a>1$ si ha $\alpha^{\log_a\beta}=\beta^{\log_a\alpha}$ per cui la relazione che hai scritto è vera.
P.S.: non sono bravo... io sta roba la insegno all'Università!
P.S.: non sono bravo... io sta roba la insegno all'Università!
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