Limite di successione
Buonasera a tutti. Ho porblemi col seguente esercizio:
Si calcoli
$lim n^2(root(n)(3^n+2^n)-3)$. Mi trovo di fronte ad una forma di indeterminazione del tipo $0*oo$. Ho porvato diversi raccoglimenti ma non riesco a trovare una strada buona. Suggerimenti? Grazie
PS. scusate la notazione un pò farlocca ma se inserisco le formule con l'editor mi crasha firefox O.o (ovviamente essendo una successione, n tende a $oo$).
Si calcoli
$lim n^2(root(n)(3^n+2^n)-3)$. Mi trovo di fronte ad una forma di indeterminazione del tipo $0*oo$. Ho porvato diversi raccoglimenti ma non riesco a trovare una strada buona. Suggerimenti? Grazie
PS. scusate la notazione un pò farlocca ma se inserisco le formule con l'editor mi crasha firefox O.o (ovviamente essendo una successione, n tende a $oo$).
Risposte
Ciao!
Non è vero che è una forma indeterminata:
forse non hai riportato fedelmente il testo?
Saluti dal web.
"Albert Wesker 27":
Buonasera a tutti. Ho porblemi col seguente esercizio:
Si calcoli
$lim n^2(sqrt(3^n+2^n)-3)$. Mi trovo di fronte ad una forma di indeterminazione del tipo $0*oo$..
Non è vero che è una forma indeterminata:
forse non hai riportato fedelmente il testo?
Saluti dal web.
Certo! Errore di battitura. Ho modificato opportunamente (era la radice ennesima). Grazie =)
Arriciao!
Ora ci siamo,sembra,e dunque posso farti notare che $2^n>0$ $AAninNNrArr$
$rArr2^n+3^n>3^n$ $AAninNNrArrroot(n)(2^n+3^n)>root(n)(3^n)=3$ $AAninNNrArr$
$rArrroot(n)(2^n+3^n)-3>0$ $AAninNNrArrn^2(root(n)(2^n+3^n)-3)>0$ $AAninNN$
(quest'ultima implicazione è giustificata moltiplicando membro a membro per $n^2>0$ $AAninNN$):
visto poi che $NN-{1}subeNN$,potremo naturalmente dedurne che $n^2(root(n)(2^n+3^n)-3)>0$ $AAninNN-{1}$ (1).
Inoltre:
$1+(2/3)^n>1,1/n<=1/2$ $AAninNN-{1}$
(la prima è immediata conseguenza della positività di $(2/3)^n$)$rArr$
$rArrn^2(root(n)(2^n+3^n)-3)=n^2(root(n)(3^n[1+(2/3)^n])-3)=n^2{3[1+(2/3)^n]^(1/n)-3}=$
$=3n^2{[1+(2/3)^n]^(1/n)-1}<=3n^2{[1+(2/3)^n]^(1/2)-1}$ $AAninNN-{1}$
Grazie a questa conclusione ed alla (1),potremo allora dedurne che
$0
(infatti è noto come $lim_(n->oo)3n^2(2/3)^n=lim_(n->oo)3n^2/(3/2)^n=0$ perchè gli esponenziali sono infiniti d'ordine maggiore rispetto ai monomi,
e $lim_(n->oo){[1+(2/3)^n]^(1/2)-1}/(2/3)^n=1/2$ per un limite notevole ed il solito teorema di congiunzione tra limiti di successioni e funzioni reali d'una variabile reale)
$cdots=0=lim_(n->oo)0rArrEElim_(n->oo)n^2(root(n)(2^n+3^n)-3)=0$
(per la (2) ed il teorema dei due carabinieri):
saluti dal web.
Ora ci siamo,sembra,e dunque posso farti notare che $2^n>0$ $AAninNNrArr$
$rArr2^n+3^n>3^n$ $AAninNNrArrroot(n)(2^n+3^n)>root(n)(3^n)=3$ $AAninNNrArr$
$rArrroot(n)(2^n+3^n)-3>0$ $AAninNNrArrn^2(root(n)(2^n+3^n)-3)>0$ $AAninNN$
(quest'ultima implicazione è giustificata moltiplicando membro a membro per $n^2>0$ $AAninNN$):
visto poi che $NN-{1}subeNN$,potremo naturalmente dedurne che $n^2(root(n)(2^n+3^n)-3)>0$ $AAninNN-{1}$ (1).
Inoltre:
$1+(2/3)^n>1,1/n<=1/2$ $AAninNN-{1}$
(la prima è immediata conseguenza della positività di $(2/3)^n$)$rArr$
$rArrn^2(root(n)(2^n+3^n)-3)=n^2(root(n)(3^n[1+(2/3)^n])-3)=n^2{3[1+(2/3)^n]^(1/n)-3}=$
$=3n^2{[1+(2/3)^n]^(1/n)-1}<=3n^2{[1+(2/3)^n]^(1/2)-1}$ $AAninNN-{1}$
Grazie a questa conclusione ed alla (1),potremo allora dedurne che
$0
(infatti è noto come $lim_(n->oo)3n^2(2/3)^n=lim_(n->oo)3n^2/(3/2)^n=0$ perchè gli esponenziali sono infiniti d'ordine maggiore rispetto ai monomi,
e $lim_(n->oo){[1+(2/3)^n]^(1/2)-1}/(2/3)^n=1/2$ per un limite notevole ed il solito teorema di congiunzione tra limiti di successioni e funzioni reali d'una variabile reale)
$cdots=0=lim_(n->oo)0rArrEElim_(n->oo)n^2(root(n)(2^n+3^n)-3)=0$
(per la (2) ed il teorema dei due carabinieri):
saluti dal web.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo