Limite di successione

[Leonard_1]

Ciao ragazzi stavo svolgendo il limite lim(((log(n+1)-log(n))/(sin(1/n)*(2^sin(1/n) -1)),n,+Infinity).
Bene, al numeratore ho applicato le proprietà dei logaritmi, riscrivendo la differenza in rapporto tra gli argomenti, poi ho spezzato il minimo comune multiplo ed ho operato come segue al terzo rigo.
Infine ho moltiplicato e diviso per 1/n e sin(1/n) ed il limite è 0. E' corretto?
Vi allego l'esercizio svolto con i passaggi.

Grazie in anticipo

[francicko]

Scusa, ma cosi si capisce ben poco di quello che hai scritto, prova a scrivere le formule come previsto dal regolamento!

[Leonard_1]

Messaggio da francicko » 17/01/2015, 13:12

Scusa, ma cosi si capisce ben poco di quello che hai scritto, prova a scrivere le formule come previsto dal regolamento!

ok fatto! questo è il limite

$lim_( n−>+oo) (log(n+1)−logn)/(sin(1/n)(2^sin(1/n) −1)$

[francicko]

Intanto si nota che $log(n+1)-logn=log((n+1)/n)=log(1+1/n)$, per le note proprietà dei logaritmi
Sfruttando gli asintotici avremo:
$log(1+1/n)$ è asintoticamente per $n->infty$ equivalente alla forma $1/n$, perchè $lim_(n->infty)log(1+1/n)/(1/n)=1$
$sin(1/n)$ è asintoticamente per $n->infty$ equivalente alla forma $1/n$ perchè $lim_(n->infty)sin(1/n)/(1/n)=1$
Sostituendo nel limite originario avremo $lim(1/n)/((1/n)(2^(1/n)-1))=lim_(n->infty)1/(2^(1/n)-1)=1/(2^0-1)=1/0=infty$