Limite di successione

[jJjjJ1]

Devo calcolare il limite:

$lim_{n to +infty} sin( \Pi \sqrt{ 1 + n^2 })$

Secondo me non esiste ma vorrei conferma, soprattutto perché non so se ho formalizzato bene:

Poiché il seno è una funzione periodica possiamo scrivere:

\(\displaystyle sin( \Pi \sqrt{ 1 + n^2 } ) = sin( \Pi \sqrt{ 1 + n^2 } - 2k\Pi ) \) con \(\displaystyle k \in Z \)

Consideriamo allora la successione \(\displaystyle a_n = sin( \Pi \sqrt{ 1 + n^2 }) \) con n pari e poniamo \(\displaystyle k = n / 2\) , allora \(\displaystyle a_n = sin( \Pi \sqrt{ 1 + n^2 } - n\Pi ) \)

Adesso calcoliamo $lim_{n to +infty} sin( \Pi \sqrt{ 1 + n^2 } - n\Pi ) = sin( lim_{n to +infty} \Pi \sqrt{ 1 + n^2 } - n\Pi ) )$ e moltiplicando numeratore e denominatore per \(\displaystyle \Pi \sqrt{ 1 + n^2 } + n\Pi \) otteniamo che il limite vale 0.

Consideriamo adesso \(\displaystyle b_k = sin( \Pi \sqrt{ 1 + ( 2k + 1 )^2 }) \) successione dei termini dispari estratta dalla prima. Se la prima successione ha limite, poiché l'estratta pari tende a 0, anche \(\displaystyle b_n -> 0 \). Ma se poniamo \(\displaystyle b_k = sin( \Pi \sqrt{ 1 + ( 2k + 1 )^2 }) = sin( \Pi \sqrt{ 1 + ( 2k + 1 )^2 } - 2\frac{( (2k + 1) - 1 )}{2}\Pi ) \)
allora otteniamo \(\displaystyle b_k = sin( \Pi \sqrt{ 1 + ( 2k + 1 )^2 } - ( (2k + 1) - 1 ) \Pi ) \)

Con considerazioni analoghe a quelle sopra il limite di \(\displaystyle b_k \) è \(\displaystyle \neq 0 \), perciò la successione di partenza non ammette limite?

[kobeilprofeta]

Ad occhio: direi che esisterebbe $lim_{n to +infty} sin (pi*sqrt(n^2))$, poiche siamo sicuri che viene sempre un multiplo intero di pi e dunque il seno vale 0. Ma $sqrt(1+n^2)$ assume valori $in! ZZ$, dunque il discorso non vale piú.

[jJjjJ1]

Si ma non dimostri che quel limite non esiste, il modo in cui l'ho fatto io è corretto? Cioè so che se prendo due successioni estratte da quella di partenza e calcolo il limite esso deve essere lo stesso perché una successione ( =una funzione ) ammette limite se e soltanto se ha un solo punto limite. Tuttavia mi chiedevo se il passaggio in cui pongo:

$ lim_{n to +infty} sin( \Pi sqrt(1 + n^2) )= lim_{n to +infty} sin( \Pi sqrt( 1 + n^2 ) -2k\Pi ) $ con $ k \in Z $ è corretto o meno.

[jJjjJ1]

Scusate ho detto una cavolata, non risostituivo il limite calcolato in sin. Riposto tutto il procedimento:

Sia $ lim_{ n to +infty } sin( \Pi sqrt(1+n^2)) $

Poiché il seno è una funzione periodica si ha che:

$ sin( \Pi sqrt( 1+ n^2) ) = sin( \Pi sqrt( 1+n^2) - 2k\Pi )$ con $ k \in Z $

Adesso consideriamo la successione estratta $ a_n $ ad indici pari, possiamo perciò considerare $ n $ pari e porre:

$ a_n = sin( \Pi sqrt( 1+n^2 ) ) = sin( \Pi sqrt( 1+n^2 ) - 2\frac{n}{2} \Pi )$

Allora $ lim_{ n to +infty } a_n = sin( lim_{n to +infty} \Pi sqrt( 1+n^2 ) - 2\frac{n}{2} \Pi )$

$lim_{n to +infty} \Pi sqrt( 1+n^2 ) - 2\frac{n}{2} \Pi = lim_{n to +infty} \frac{ \Pi (1+n^2) - n^2 }{ sqrt(1+n^2) + n} = 0$

Allora $ lim_{n to +infty} a_n = sin( 0 ) = 0 $

Sia adesso $b_k = sin( \Pi sqrt( 1 + ( 2k + 1 ) ^2 ) )$ l'estratta di indici dispari, possiamo porre:

$b_k = sin( \Pi sqrt( 1 + ( 2k + 1 ) ^2 ) )= sin( \Pi sqrt( 1 + ( 2k + 1 ) ^2 ) - 2\frac{( 2k + 1 ) - 1}{2} \Pi)$

Allora $lim_{ k to +infty } b_k = sin( lim_{ k to +infty } \Pi sqrt( 1 + ( 2k + 1 ) ^2 ) - 2\frac{( 2k + 1 ) - 1}{2} \Pi )$

$lim_{ k to +infty } \Pi sqrt( 1 + ( 2k + 1 ) ^2 ) - 2\frac{( 2k + 1 ) - 1}{2} \Pi = \Pi$

Allora $ lim_{ k to +infty } b_n = sin( \Pi ) = 0 $

Coincidono quindi i limiti delle successioni estratte di termini pari e di termini dispari, perciò il limite della successione di partenza esiste e vale 0.

EDIT

L'ultima deduzione mi pare lecita ma non sono sicuro, ovvero non so se data \(\displaystyle a_n \) successione:

$lim_{k to +infty} a_(2k) = lim_{k to infty} a_(2k + 1) = l \Rightarrow lim_{n to infty} a_n = l$

Io penso di si, forse lo potrei dimostrare così?

$lim_{k to +infty} a_(2k) \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists k_0 \in N : \forall k > k_0 | a_(2k) - l | < \varepsilon $

$lim_{k to +infty} a_(2k+1) \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists k_1 \in N : \forall k > k_0 | a_(2k+1) - l | < \varepsilon $

Allora posto \(\displaystyle k_n = max( k_0, k_1 ) \)
$ \forall \varepsilon > 0 \exists k_n \in N : \forall k > k_n | a_(2k) - l | < \varepsilon, | a_(2k+1) - l | < \varepsilon $

Posto quindi $ 2k_n = n_0 $ possiamo scrivere:

$ \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in N : \forall n > n_0 | a_(n) - l | < \varepsilon $

Ovvero $lim_{n to infty} a_n = l$ ma non so se è giusto

[jitter1]

Premessa: è vero che una successione periodica non costante non ha limite? (*) Se sì, è corretto il ragionamento che segue?
Provo a dimostrare che ${a_n = sen (pi sqrt (1+n^2))}$ è una successione periodica, cioè mi chiedo se esiste T tale che $sen (pi sqrt (1+(n+T)^2)) = sen (pi sqrt (1+n^2))$.

Un tale T esiste: infatti, per qualche k, si ha $pi sqrt (1+n^2) + 2k pi = pi sqrt(1 + (n + T)^2$ (questa equazione ha $\Delta > 0$). Ne segue che $sen(pi sqrt (1+n^2) + 2k pi) = sen(pi sqrt (1+n^2)) = pi sqrt(1 + (n + T)^2$: la successione è periodica e quindi non ha limite.
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(*) Dimostro che una successione periodica non costante non ha limite.
Se avesse limite L, per qualsiasi $\epsilon > 0$ esisterebbe un $M$ tale che $ AA n>M, |a_n-L|<\epsilon $. Sia $a_m$ un qualsiasi elemento della successione e scelgo $\epsilon < |a_m - L|$. Poiché la successione è periodica esiste certamente un $u > M$ tale che $a_u = a_m$. Quindi si ha contemporaneamente $|a_u - L| < \epsilon$ (per l'esistenza del limite) e $|a_u - L| > \epsilon$ (per come è stato scelto $\epsilon$): assurdo.

[jJjjJ1]

Io penso tu stia sbagliando infatti $a_n$ non è periodica. Infatti puoi porre $a_n = sin( \Pi sqrt{1 + n^2 } ) = sin( \Pi sqrt{1+n^2} + 2k\Pi )$ ma quando verifichi che $a_n$ è periodica devi scegliere una delle due forme e allora trovi che T non esiste.

Come ho detto sopra penso che il limite esista e sia 0

[jitter1]

"jJjjJ":quando verifichi che $a_n$ è periodica devi scegliere una delle due forme e allora trovi che T non esiste.

Ho sbagliato qui:

"jitter":per qualche k, si ha π1+n2−−−−−−√+2kπ=π1+(n+T)2−−−−−−−−−−−√ (questa equazione ha Δ>0).

perché avrei dovuto considerare che l'uguaglianza deve valere per ogni n. Quindi T non è "esce" più. Peccato

[jJjjJ1]

Penso che il ragionamento che ho fatto al terzo mio messaggio vada bene Attendiamo conferma

[jitter1]

Attendiamo Il tuo procedimento non l'avevo guardato perché purtroppo non conosco i teoremi sulle sottosuccessioni. La cosa strana, però, è che wolfram dà questo grafico per la corrispondente funzione $sin(pi sqrt(1+x^2))$:



Ma aspettiamo, dai smt023

[jJjjJ1]

$ lim_{x to +infty} sin( \Pi sqrt( 1 + x^2 ) ) $ infatti non esiste. Basta che prendi le sottosuccessioni $ a_n = sqrt( 4n^2 - 1 ) $ e $ b_n = sqrt( ( 2n + 1/2 ) ^ 2 - 1 )$ e verifichi che $lim_{ a_n to infty } f( a_n ) \ne lim_{b_n to infty} f(b_n)$

[jJjjJ1]

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[jJjjJ1]

Nobody?