Limite di potenza su esponenziale

[domenico.migl]

Mentre studiavo una dimostrazione sono rimasto bloccato ad un passo dalla fine, non riesco a capire il seguente passaggio:

$\lim_(x\to +\infty)(x^alpha/a^x)= (alpha/(\log_(4)(a)))^alpha$

Per maggior comprensione posto anche i passaggi precedenti:

$x^alpha/a^x= x^alpha/(4^(x\log_()4(a)))= (x/4^(x\log_(4)(a)/alpha))^alpha$

Si effettua la sostituzione:

$y = (x \log_(4)(a))/alpha rarr +\infty$ per $xrarr +\infty$

E poi si passa al passaggio che non mi è chiaro.

Grazie!!

[gugo82]

Il limite proposto non viene fuori quello che hai scritto...

All'infinito una potenza con esponente $\alpha >0$ è un infinito d'ordine minore di ogni esponenziale con base $a>1$, ergo in tal caso il limite deve essere $=0$; d'altra parte, se $0 Viceversa, se $\alpha <0$, quando $a>1$ non hai forma indeterminata ed il limite viene $=0$; invece, se $0 \[
\lim_{x\to +\infty} \frac{(\frac{1}{a})^x}{x^{-\alpha}}\; ,
\]
con $1/a>1$ e $-\alpha >0$, per il quale il confronto tra infiniti dà risultato $+\infty$.
Quindi in nessun caso il risultato che riporti è corretto...

Sicuro di aver riportato bene negli appunti?

[domenico.migl]

Intanto ci tengo a ringraziarti per la tua precisione e il tuo interesse, riporto l'intero teorema:

Ipotesi: $a>1, p>0$

Tesi:$\lim_(x\to +\infty)(x^p/a^x)=0$

Dimostrazione:

Scriviamo $a^x$ come $a^x=4^(log_(4)(a^x))=4^(xlog_(4)(a))$

$x^p/a^x=x^p/(4^(x\log_(4)(a)))=(x/4^((x\log_(4)(a))/p))^p$

Sostituiamo: $y=(x\log_(4)(a))/p \rightarrow +\infty$ per $x\rightarrow +\infty$

In conclusione:

$\lim_(x\to +\infty)(x^p/a^x)= (p/(\log_(4)(a)))^p$ $\lim_(y\to +\infty)(y/4^y)^p=0$

Quello che non riesco a capire io è proprio la conclusione.. Come giunge a quel risultato.