Limite di funzione con sostituzione
Mi sono ritrovata con questo esercizio da risolvere
$\lim_{x \to \0^+}(x^2+2x)*log(x)$
non sapendo come risolverlo in un primo momento, ho cercato in diverse esercitazioni ed ho trovato l'esercizio svolto in questo modo
$\lim_{x \to \0^+}x^2logx + 2xlogx$
considero separatamente i due logaritmi e faccio la sostituzione $x=1/T$
Per il primo logaritmo ottengo
$1/T^2*log(1/T)$ = $(log(1/T))/(t^2)$ = $log(T^-1)/T^2$ = $-log(T)/T^2$ = 0
Per il secondo
$2/T*log(1/T)$ = $(2log(1/T))/(T)$ = $(2log(T))/(T)$ = 0
il limite poi ha come risultato zero.
Il mio dubbio è nell'ultimo passaggio di entrambi i logaritmi, non capisco con quale ragionamento si è arrivato a dire che il risultato è zero per entrambi ^^'
Aggiungo in oltre che nei miei appunti, affianco ai due risultati, avevo scritto (per gerarchia) ... ora ai tempi quel appunto può aver avuto un significato, ma è passato così tanto tempo che non me lo ricordo ^^'
Se qualcuno potesse aiutare a capire mi sarebbe di grande aiuto
Grazie ^^
$\lim_{x \to \0^+}(x^2+2x)*log(x)$
non sapendo come risolverlo in un primo momento, ho cercato in diverse esercitazioni ed ho trovato l'esercizio svolto in questo modo
$\lim_{x \to \0^+}x^2logx + 2xlogx$
considero separatamente i due logaritmi e faccio la sostituzione $x=1/T$
Per il primo logaritmo ottengo
$1/T^2*log(1/T)$ = $(log(1/T))/(t^2)$ = $log(T^-1)/T^2$ = $-log(T)/T^2$ = 0
Per il secondo
$2/T*log(1/T)$ = $(2log(1/T))/(T)$ = $(2log(T))/(T)$ = 0
il limite poi ha come risultato zero.
Il mio dubbio è nell'ultimo passaggio di entrambi i logaritmi, non capisco con quale ragionamento si è arrivato a dire che il risultato è zero per entrambi ^^'
Aggiungo in oltre che nei miei appunti, affianco ai due risultati, avevo scritto (per gerarchia) ... ora ai tempi quel appunto può aver avuto un significato, ma è passato così tanto tempo che non me lo ricordo ^^'
Se qualcuno potesse aiutare a capire mi sarebbe di grande aiuto
Grazie ^^
Risposte
Hi, if you use L'Hôpital's rule, then you get $$\lim_{t\to\infty}\frac{\log t}{t^n}=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{1}{t}}{nt^{n-1}}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{nt^{n}}=0.$$
This proves that those limits are zero.
This proves that those limits are zero.
In any case, a change of variables is not necessary. Indeed, I'll give you another method to prove that the limit is zero: if you take absolute value, then, for small $x>0$ (actually, for $0
Now, you can use that, for a fixed $\alpha>0$, if $t$ is large enough, then there exists a constant $C>0$ such that $\log t\leq C t^\alpha$, so you have that $\log\frac{1}{x}\leq C \frac{1}{x^\alpha}$ and from this it follows (taking $\alpha<1$) that your limit is zero.
Now, you can use that, for a fixed $\alpha>0$, if $t$ is large enough, then there exists a constant $C>0$ such that $\log t\leq C t^\alpha$, so you have that $\log\frac{1}{x}\leq C \frac{1}{x^\alpha}$ and from this it follows (taking $\alpha<1$) that your limit is zero.
Thanks for your answer ^^
You was very explicit and now I understood everything
You was very explicit and now I understood everything
"javicemarpe":
Hi, if you use L'Hôpital's rule, then you get $$\lim_{t\to\infty}\frac{\log t}{t^n}=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{1}{t}}{nt^{n-1}}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{nt^{n}}=0.$$
This proves that those limits are zero.
Sorry, I reviewed the exercise and I had a doubt: why the $\lim_{x\to\0^+}$ changed to $\lim_{x\to\infty}$ when you used Hopital's rule? ^^'
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