Limite di due variabili reali
Salve ragazzi mi piacerebbe capire come posso risolvere i limiti di due variabili reali ad esempio:
$lim_(x,y->0,0)(x*y^2)/(x+y)$
in pratica vorrei sapere se nel momento in cui considero la restrizione $f(x)=(x,0)$
devo calcolare il limite della funzione : $lim_(x->0)(x*0)/(x+0)$
ps se mi elencaste altri possibili procedimenti per studiare la continuità delle funzioni di n variabili ve ne sarò eternamente grato!!
$lim_(x,y->0,0)(x*y^2)/(x+y)$
in pratica vorrei sapere se nel momento in cui considero la restrizione $f(x)=(x,0)$
devo calcolare il limite della funzione : $lim_(x->0)(x*0)/(x+0)$
ps se mi elencaste altri possibili procedimenti per studiare la continuità delle funzioni di n variabili ve ne sarò eternamente grato!!
Risposte
se ti vuoi restringere ad [tex]y=0[/tex], ovvero fare diventare la tua funzione
[tex]f(x,0)=\lim_{x\to0}{\frac{x0}{x+0}}[/tex] allora quello che hai scritto è corretto e il limite sembra esistere e fare 0, però questo non ti dice che fa veramente zero, ti dice che potrebbe esistere, quindi o cerchi altre curve e vedi se il limite continua a essere 0, o ti fai le derivate direzioni con un generico versore o ancora passi in coordinate polari (ma in questo caso non sembra una buona idea) ...
ciao ciao
[tex]f(x,0)=\lim_{x\to0}{\frac{x0}{x+0}}[/tex] allora quello che hai scritto è corretto e il limite sembra esistere e fare 0, però questo non ti dice che fa veramente zero, ti dice che potrebbe esistere, quindi o cerchi altre curve e vedi se il limite continua a essere 0, o ti fai le derivate direzioni con un generico versore o ancora passi in coordinate polari (ma in questo caso non sembra una buona idea) ...
ciao ciao
caesar non voglio smontarti ma se devi rispondere così a che serve? Che c'entrano le derivate direzionali con la continuità? Capisci che se lui si fida di te sbaglia? Magari tu ce le hai anche chiare in testa queste cose, però cerca di spiegarle meglio!
Se il limite lungo la restrizione ad una curva passante per il punto in cui stai verificando la continuità della funzione fa $0$, allora SE il limite della $f$ in quel punto esiste, fa $0$. Ma verificare il limite lungo ogni curva non ti assicura che quel limite esista, insomma controllare il limite lungo le restrizioni serve a dimostrare che non esiste!
Se il limite lungo la restrizione ad una curva passante per il punto in cui stai verificando la continuità della funzione fa $0$, allora SE il limite della $f$ in quel punto esiste, fa $0$. Ma verificare il limite lungo ogni curva non ti assicura che quel limite esista, insomma controllare il limite lungo le restrizioni serve a dimostrare che non esiste!
ok mi è chiaro a livello teorico e pratico (concettualmente parlando). Ma il limite in questione non fa $0/0$??
Sì ovviamente in (0,0) hai una forma di indecisione, altrimenti dove starebbe la difficoltà?
Comunque non è proprio banalissimo, perchè c'è una retta del dominio su cui la funzione non è definita..
Comunque non è proprio banalissimo, perchè c'è una retta del dominio su cui la funzione non è definita..
scusate ancora e se mi trovassi in questo caso ad esempio,
$lim_(x,y->0,0)(1-cos(x*y))/(x^2+y^2)$
e considero la restrizione $f(x)=(x,mx)$
posso calcolare il limite in questo modo??
$lim_(x->0)(1-cos(mx^2))/(x^2+m^2x^2)$ $=$ $(1-cos(mx^2))/(m^2x^4)$ $*$ $ (m^2x^2)/(1+m^2)$ $ = $ $1/2 * 0 = 0$
il fatto è che mi serve qualcosa per imparare a risolvere i limiti di due variabili se avete qualche dispensa da segnalarmi è ancora meglio!!
$lim_(x,y->0,0)(1-cos(x*y))/(x^2+y^2)$
e considero la restrizione $f(x)=(x,mx)$
posso calcolare il limite in questo modo??
$lim_(x->0)(1-cos(mx^2))/(x^2+m^2x^2)$ $=$ $(1-cos(mx^2))/(m^2x^4)$ $*$ $ (m^2x^2)/(1+m^2)$ $ = $ $1/2 * 0 = 0$
il fatto è che mi serve qualcosa per imparare a risolvere i limiti di due variabili se avete qualche dispensa da segnalarmi è ancora meglio!!
No, ti ho scritto sopra che non puoi!
Quello che hai fatto aumenta di molto le probabilità che quel limite faccia $0$ (e in questo caso è così), ma non te lo assicura. Potrebbe esserci per esempio una curva che non sia una retta, su cui la funzione ha un valore costante.
L'unico modo è maggiorare, cioè far vedere che la funzione è sempre minore o uguale di qualcosa che tende a $0$ senza ombra di dubbio.
Quello che hai fatto aumenta di molto le probabilità che quel limite faccia $0$ (e in questo caso è così), ma non te lo assicura. Potrebbe esserci per esempio una curva che non sia una retta, su cui la funzione ha un valore costante.
L'unico modo è maggiorare, cioè far vedere che la funzione è sempre minore o uguale di qualcosa che tende a $0$ senza ombra di dubbio.
e come si fa a maggiorare ... sto cercando qualcosa a riguardo ma non trovo nulla !!
Ti faccio vedere come si fa con questa, in questo caso quella che ti serve è $x<=sqrt(x^2+y^2)$(la stessa vale per $y$).
Quindi:
$lim_(ul(x)->ul(0))(1-cos(xy))/(x^2+y^2)=lim_(ul(x)->ul(0))(x^2y^2)/(2(x^2+y^2))$
$|(x*x*y*y)/(2sqrt(x^2+y^2)sqrt(x^2+y^2))|=|xy|/2|y/sqrt(x^2+y^2)||x/sqrt(x^2+y^2)|<=|xy|/2->0$ quando $(x,y)->(0,0)$.
Capito più o meno?
Ps: $ul(x)=(x,y)$, l'ho scritto così perchè con Chrome lo vedevo malissimo altrimenti!
Quindi:
$lim_(ul(x)->ul(0))(1-cos(xy))/(x^2+y^2)=lim_(ul(x)->ul(0))(x^2y^2)/(2(x^2+y^2))$
$|(x*x*y*y)/(2sqrt(x^2+y^2)sqrt(x^2+y^2))|=|xy|/2|y/sqrt(x^2+y^2)||x/sqrt(x^2+y^2)|<=|xy|/2->0$ quando $(x,y)->(0,0)$.
Capito più o meno?
Ps: $ul(x)=(x,y)$, l'ho scritto così perchè con Chrome lo vedevo malissimo altrimenti!
non capisco. Ma ci sono delle regole per maggiorare??
Sì il buon senso, guarda bene i passaggi che capisci!
Te ne aggiungo una va..
Ti faccio anche notare che se $x<=sqrt(x^2+y^2)$ allora $x/sqrt(x^2+y^2)<=1$.
Te ne aggiungo una va..
Ti faccio anche notare che se $x<=sqrt(x^2+y^2)$ allora $x/sqrt(x^2+y^2)<=1$.
non capisco come puo $lim_(x,y->0,0)(1-cos(x*y))/(x^2+y^2)$ essere uguale a $lim_(x,y->0,0)(x^2*y^2)/(2*(x^2+y^2))$
Eddai ho solo usato uno sviluppo di Taylor, ma non lo hai fatto anche tu prima? Noto ora che forse hai usato semplicemente il limite notevole.
Comunque penso tu li abbia fatti, non hai mai visto questa approssimazione:
$cos(xy)=1-1/2(xy)^2+o((x^2+y^2)^2)$ ?
Comunque penso tu li abbia fatti, non hai mai visto questa approssimazione:
$cos(xy)=1-1/2(xy)^2+o((x^2+y^2)^2)$ ?
mmm purtroppo no ... cosa mi consigli di fare o meglio cosa mi consigli di studiare per risolvere questa mia lacuna?
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