Limite da risolvere con le stime asintotiche

[jarrod]

Ciao,
sto risolvendo questo limite:
$\lim_{n \to \infty}(3^n * sin(n!) + n*2^(n+3) * (n^4 +4^n)^(1/2))/(4^(n-1)*(1+4n^2)^(1/2) + (2n)^(n^(1/2)))$

Ho iniziato portando fuori $n^4$ della radice al numeratore e $n^2$ della radice al denominatore..
Cosi siccome per $n->oo$, le radici vanno via..
però non capisco come poi proseguire. Il mio problema è quel $sin(n!)$. Ho pensato di applicare il criterio del rapporto, però il limite si complica ancora di più e inoltre il seno persiste ancora. Qualcuno riesce a darmi una mano?

[gugo82]

"jarrod":Ciao,
sto risolvendo questo limite:
$\lim_{n \to \infty}(3^n * sin(n!) + n*2^(n+3) * (n^4 +4^n)^(1/2))/(4^(n-1)*(1+4n^2)^(1/2) + (2n)^(n^(1/2)))$

Ho iniziato portando fuori $n^4$ della radice al numeratore [...]

Beh, hai iniziato male.

Guarda meglio.

[Lebesgue]

"Moralmente" al numeratore comanda $3^n$, in quanto avresti $4^n$ ma essendo sotto radice quando lo porti fuori diventa un povero $2^n$.
Al denominatore invece chi comanda è quel $(2n)^{n/2}$, in quanto per $n\rightarrow+\infty$ vale: $\logn0)<\alpha^n (con \ \alpha>1) Inoltre ricorda che il seno è una funzione limitata: $-1\le\sin(f(x))\le1$ qualsiasi sia la funzione dentro, quindi anche se hai un n!.

[gugo82]

"Lebesgue":"Moralmente" al numeratore comanda $3^n$, in quanto avresti $4^n$ ma essendo sotto radice quando lo porti fuori diventa un povero $2^n$.

Ma noooo... Guardate bene!!!

[Lebesgue]

"gugo82":
Ma noooo... Guardate bene!!!

Avevo visto un + al posto del x davanti quella radice!! Allora mi correggo, al numeratore comanda $4^n$, dove un $2^n$ è moltiplicato davanti la radice, mentre un altro $2^n$ è quello che si ottiene quando si tira fuori il $4^n$ sotto radice.
Insomma, se non ho altre sviste il limite alla fine si riduce a $\frac{n4^n}{(2n)^{n/2}}$ e quindi vale zero.

[otta96]

"Lebesgue": il limite alla fine si riduce a $\frac{n4^n}{(2n)^{n/2}}$ e quindi vale zero.

Sicuro?