Limite da risolvere
In uno studio di funzione, al fine di trovare l'equazione dell'asintoto obliquo, devo trovare l'ordinata all'origine $q$ che è uguale a $lim_(x->oo)(f(x)-mx)$ e tale limite è $lim_(x->+-oo)(x*2^((1+x)/(1-x))-(1/2)x)$.
Ora io ho capito, o credo di aver capito (questo me lo direte voi) che posso ricondurmi a un limite notevole del tipo $lim_(t->0)(2t-1)/t$ ovviamente operando una sostituzione della $x$ con $t$ .
Ammesso che il mio ragionamento sia corretto per risolvere la forma indeterminata in cui il limite si trova... come lo attuo? Cioè attraverso quali passaggi mi posso ricondurre all'unico metodo che mi pare possibile (ho provato Dell'Hospital, a scomporre il limite...ma non ne esco).
Grazie anticipatamente.
Ora io ho capito, o credo di aver capito (questo me lo direte voi) che posso ricondurmi a un limite notevole del tipo $lim_(t->0)(2t-1)/t$ ovviamente operando una sostituzione della $x$ con $t$ .
Ammesso che il mio ragionamento sia corretto per risolvere la forma indeterminata in cui il limite si trova... come lo attuo? Cioè attraverso quali passaggi mi posso ricondurre all'unico metodo che mi pare possibile (ho provato Dell'Hospital, a scomporre il limite...ma non ne esco).
Grazie anticipatamente.
Risposte
( Ops ho scritto una cavolata )
( Scusate MOD per il doppio post, ero convinto di modificare invece ho fatto un nuovo post )
( Scusate MOD per il doppio post, ero convinto di modificare invece ho fatto un nuovo post )
(Avevo scritto giusto ) XD
$lim_(x->+-oo)(x*2^((1+x)/(1-x))-(1/2)x) = lim_{x \to \infty} x/2 \cdot [ 2\cdot 2^{ (1+x)/(1-x) } - 1 ] = lim_{x \to \infty} x/2 \cdot [ 2^{ (1+x)/(1-x) + 1} - 1 ]$
Ora ad esempio potesti utilizzare il limite notevole $lim_{x->0} ( a^x -1 )/x = lna $. Usare tale limite è lecito perchè $ (1+x)/(1-x) + 1 $ è infinitesimo per x infinitamente grande.
Se non ho fatto errori il imite dovrebbe venire $-ln2$
$lim_(x->+-oo)(x*2^((1+x)/(1-x))-(1/2)x) = lim_{x \to \infty} x/2 \cdot [ 2\cdot 2^{ (1+x)/(1-x) } - 1 ] = lim_{x \to \infty} x/2 \cdot [ 2^{ (1+x)/(1-x) + 1} - 1 ]$
Ora ad esempio potesti utilizzare il limite notevole $lim_{x->0} ( a^x -1 )/x = lna $. Usare tale limite è lecito perchè $ (1+x)/(1-x) + 1 $ è infinitesimo per x infinitamente grande.
Se non ho fatto errori il imite dovrebbe venire $-ln2$
Scusa pater, mi è chiaro fino all'ultimo passaggio delle deduzioni matematiche.
L'ultima cosa che hai detto: posso usare il limite perchè in pratica è come se fosse (scusa il linguaggio poco tecnico, ma per ora mi interessa capire) $lim_(x->oo)((2^1-1)/1)$ ? e posso usare quel limite notevole che citi perchè in questo caso è indifferente che la $x$ tenda a zero o ad infinito?
Non credo di aver ben capito...
L'ultima cosa che hai detto: posso usare il limite perchè in pratica è come se fosse (scusa il linguaggio poco tecnico, ma per ora mi interessa capire) $lim_(x->oo)((2^1-1)/1)$ ? e posso usare quel limite notevole che citi perchè in questo caso è indifferente che la $x$ tenda a zero o ad infinito?
Non credo di aver ben capito...
Mmm.. no.
Facciamo così. Partiamo da: $ lim_{x \to \infty} x/2 \cdot [ 2^{ (1+x)/(1-x) + 1} - 1 ] $
Poniamo $ t = (1+x)/(1-x) + 1 = 2/(1-x)$. Si avrà $x = (t-2)/t$. Osserviamo che $t \to 0$ per $x \to \infty$. Sostituiamo e otteniamo...
$ lim_{ t-> 0} (t-2)/(2t) \cdot [ 2^t -1 ] = lim_{t -> 0} (t-2)/(2t) \cdot t \cdot [ 2^t -1 ]/t = lim_{t -> 0} \frac { t \cdot ( t - 2 ) } { 2t } \cdot ln2 $
Il limite a questo punto è praticamente risolto
Facciamo così. Partiamo da: $ lim_{x \to \infty} x/2 \cdot [ 2^{ (1+x)/(1-x) + 1} - 1 ] $
Poniamo $ t = (1+x)/(1-x) + 1 = 2/(1-x)$. Si avrà $x = (t-2)/t$. Osserviamo che $t \to 0$ per $x \to \infty$. Sostituiamo e otteniamo...
$ lim_{ t-> 0} (t-2)/(2t) \cdot [ 2^t -1 ] = lim_{t -> 0} (t-2)/(2t) \cdot t \cdot [ 2^t -1 ]/t = lim_{t -> 0} \frac { t \cdot ( t - 2 ) } { 2t } \cdot ln2 $
Il limite a questo punto è praticamente risolto
Si a quel punto ovviamente è risolto 
grazie mille pater, sei stato molto chiaro soprattutto con la seconda spiegazione. Onestamente, non è un limite dei più semplici 
ciao e alla prossima!
grazie mille pater, sei stato molto chiaro soprattutto con la seconda spiegazione. Onestamente, non è un limite dei più semplici ciao e alla prossima!
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