Limite (da controllare)

[indovina]

Ho questo limite:
$lim_(x->0) (4/x^2)-2/(1-cosx)=$

io ho notato il limite notevole $(1-cosx)/x^2=1/2$ per $x->0$

allora moltiplico per $1/x^2$ al denominatore e al numeratore di $2/(1-cosx)$

infatti verrebbe:

$lim_(x->0) (4/x^2) - (2/x^2)/((1-cosx)/x^2)=$

$ lim_(x->0) (4/x^2) - (4/x^2)=$

ora sono in dubbio se posso applicare il limite notevole come ho fatto io, alla fine verrebbe $0$ questo limite.

domanda: si può applicare taylor?

grazie.

[Darèios89]

Su Tayolor non so dirti, mi sembra corretto come ragionemento il limite notevole.

[indovina]

Quindi come risultato è $0$, secondo l'applicazione del limite notevole.
grazie.

[Sk_Anonymous]

ciao a tutti, ho tentato di risolvere questo limite ma ho fatto solo confusione. vi mostro lo svolgimento :
$ lim_(x -> 0) 4/(x^2)-2/(1-cosx) $ . riduco la funzione ad un unico denominatore per cui facendo il minimo comune multiplo ottengo $ lim_(x -> 0) (4(1-cosx)-2x^2)/(x^2(1-cosx)) $ a questo punto sappiamo che $ 1-cosx ~ x^2/2 $ per x che tende a zero, per cui abbiamo: $ (4((x^2)/2)-2x^2)/(x^2(x^2/2))=(2x^2-2x^2)/(x^4/2)=0/x^4 $ Tutti questi passaggi sono giusti ??? come si procede???

[Ale_112]

No, attento! Da quel che mi pare di capire questo limite va risolto con la formula di Taylor. L'errore sta nel fatto che il confronto asintotico che usi tu non è abbastanza preciso in questo caso dove hai una differenza di infinitesimi (mentre in generale va bene quando hai prodotti).
Se, dopo aver fatto il minimo comune multiplo, al numeratore usi lo sviluppo di McLaurin al II ordine per $1- cosx$ vedrai che il limite fa $1/3$

[Sk_Anonymous]

ah ecco, grazie mille!

[indovina]

"Ale_":No, attento! Da quel che mi pare di capire questo limite va risolto con la formula di Taylor. L'errore sta nel fatto che il confronto asintotico che usi tu non è abbastanza preciso in questo caso dove hai una differenza di infinitesimi (mentre in generale va bene quando hai prodotti).
Se, dopo aver fatto il minimo comune multiplo, al numeratore usi lo sviluppo di McLaurin al II ordine per $1- cosx$ vedrai che il limite fa $1/3$

cioè il limite come l'ho risolto io non va bene? :S
alla fine il limite vale $1/3$??

[Ale_112]

Sì, credo proprio che il limite valga $1/3$. Spiego meglio il ragionamento così qualcuno potrà correggermi se sbaglio. Cominciamo da qui:
$lim_(x->0)(4(1-cosx)-2x^2)/(x^2(1-cosx))$
Ora, sia con il confronto asintotico che con il limite notevole avete ottenuto questa uguaglianza $1-cosx= x^2/2+o(x^2)$
Sostituendo nel limite si ha:
$lim_(x->0)(2x^2+o(x^2)-2x^2)/(x^4/2 +o(x^4)) = lim_(x->0)(o(x^2))/(x^4/2)$
Da quest'ultima forma però non si può concludere nulla!!
Invece provate a sostituire a cosx il suo sviluppo di McLaurin al II ordine $cosx=1+x^2/2+x^4/(4!)+o(x^4)$
Il risultato cambia.