Limite con taylor
Salve a tutti, non riesco a svolgere questo limite
$ lim (e^(ln(1+x)/x ) - e) /x $
Il limite è per x-->0, ho provato a sviluppare ln(1+x) ma mi non so come procedere, arrivo sempre al punto di avere (e-e) /x, quindi una forma indeterminata 0/0
$ lim (e^(ln(1+x)/x ) - e) /x $
Il limite è per x-->0, ho provato a sviluppare ln(1+x) ma mi non so come procedere, arrivo sempre al punto di avere (e-e) /x, quindi una forma indeterminata 0/0
Risposte
Non so quale sia il risultato, ma intuitivamente mi verrebbe da spezzare la frazione:
$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{e^{\frac{ln(1+x)}{x}}}x-\frac{e}{x})=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{e}{x}-\frac{e}{x})=0$
Dimmi se è giusto
$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{e^{\frac{ln(1+x)}{x}}}x-\frac{e}{x})=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{e}{x}-\frac{e}{x})=0$
Dimmi se è giusto
Ma non c'entra nulla, anche perché il limite tende a 0 e in più non lo puoi spezzare
Sarà pure sbagliata la mia soluzione perchè troppo sbrigativa, ma...
"Salvy":questa fesseria non la batte nessuno
in più non lo puoi spezzare
Non basta il primo ordine di Taylor del logaritmo, devi proseguire: dopo aver proseguito, prova a raccogliere a fattor comune $e$.
Il limite però non fa $0$, bensì fa $-\frac{e}{2}$; pertanto il procedimento di Fabbiooo è sbagliato, non perché sbrigativo ma per un errore di approssimazione.
E sì, si può spezzare la frazione così!
Il limite però non fa $0$, bensì fa $-\frac{e}{2}$; pertanto il procedimento di Fabbiooo è sbagliato, non perché sbrigativo ma per un errore di approssimazione.
E sì, si può spezzare la frazione così!
"Fabbiooo":questa fesseria non la batte nessuno
Sarà pure sbagliata la mia soluzione perchè troppo sbrigativa, ma... [quote="Salvy"]in più non lo puoi spezzare
[/quote]Mi sa proprio che l'hai detta più grossa te, molto più grossa! Ahahaha comunque grazie per avermi aiutato
"Mephlip":
Non basta il primo ordine di Taylor del logaritmo, devi proseguire: dopo aver proseguito, prova a raccogliere a fattor comune $e$.
Il limite però non fa $0$, bensì fa $-\frac{e}{2}$; pertanto il procedimento di Fabbiooo è sbagliato, non perché sbrigativo ma per un errore di approssimazione.
E sì, si può spezzare la frazione così!
Grazie mille ho risolto
Ciao Salvy,
A parte che non vedo particolari problemi usando gli sviluppi in serie, lo risolverò in un altro modo (così potrai sempre riprendere l'idea dello sviluppo in serie), dimostrando che si ha:
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x} - e}{x} = - e/2 $
Infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x} - e}{x} = e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x - 1} - 1}{x} = e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x - 1} - 1}{ln(1 + x)/x - 1} \cdot \frac{ln(1 + x)/x - 1}{x} = $
$ = e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x - 1} - 1}{ln(1 + x)/x - 1} \cdot \frac{ln(1 + x) - x}{x^2} = e \cdot 1 \cdot (-1/2) = - e/2 $
Resta da dimostrare che si ha:
$ \lim_{x \to 0} \frac{ln(1 + x) - x}{x^2} = -1/2 $
Per farlo si possono usare gli sviluppi in serie, che lascio a te, o la Regola di de l'Hôpital:
$ \lim_{x \to 0} \frac{ln(1 + x) - x}{x^2} \overset[H]{=} \lim_{x \to 0} \frac{1/(1 + x) - 1}{2x} = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{- 1}{1 + x} = -1/2 $
A parte che non vedo particolari problemi usando gli sviluppi in serie, lo risolverò in un altro modo (così potrai sempre riprendere l'idea dello sviluppo in serie), dimostrando che si ha:
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x} - e}{x} = - e/2 $
Infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x} - e}{x} = e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x - 1} - 1}{x} = e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x - 1} - 1}{ln(1 + x)/x - 1} \cdot \frac{ln(1 + x)/x - 1}{x} = $
$ = e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1 + x)/x - 1} - 1}{ln(1 + x)/x - 1} \cdot \frac{ln(1 + x) - x}{x^2} = e \cdot 1 \cdot (-1/2) = - e/2 $
Resta da dimostrare che si ha:
$ \lim_{x \to 0} \frac{ln(1 + x) - x}{x^2} = -1/2 $
Per farlo si possono usare gli sviluppi in serie, che lascio a te, o la Regola di de l'Hôpital:
$ \lim_{x \to 0} \frac{ln(1 + x) - x}{x^2} \overset[H]{=} \lim_{x \to 0} \frac{1/(1 + x) - 1}{2x} = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{- 1}{1 + x} = -1/2 $
"Salvy":
comunque grazie per avermi aiutato
Figurati!
BTW Vista la tua convinzione nel voler perseverare su un errore così banale come questo, ti consiglio di dare una ripassata alla teoria base dei limiti. Ti servirà sicuramente
La consiglio anche a te, visto che n/0 fa 0 
Mi è parso di vedere che $n/0=0$ 
sicuramente avrai sbagliato a scrivere!
Se così non fosse, ti consiglio di prendere un buon libro di matematica di 1^ media e studiartelo bene ce ne sono molti in circolazione, qualcuno buono lo trovi sicuramente!
Buona fortuna
sicuramente avrai sbagliato a scrivere!Se così non fosse, ti consiglio di prendere un buon libro di matematica di 1^ media e studiartelo bene
ce ne sono molti in circolazione, qualcuno buono lo trovi sicuramente!Buona fortuna
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo