Limite con Sviluppo Taylor - MacLaurin
Salve ragazzi,
vi scrivo perché avrei bisogno di una mano nella risoluzione di un limite tramite lo sviluppo di MacLaurin.
Il limite è $ \lim_{x\to0}{\frac{2^{cosx}-2}{xsenx}}$ e dovrebbe fare $-\log2$.
Io l'ho risolto nel seguente modo (ma evidentemente c'è qualcosa che non va!).
Lo sviluppo del denominatore è: [size=150] $x*senx=x*[x+o(x)]= x^{2}+o(x^{2})$[/size]
Lo sviluppo del numeratore dovrebbe essere:
[size=150]$2^{cosx}-2= 2^{[1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]}-2 = 2* 2^{[-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]}-2=$[/size]
(sfruttando la proprietà secondo cui $x^{\alpha }=e^{\log_{e}x^{\alpha }}=e^{\alpha *\log_{e}x}$, ottengo) :
[size=150]$=e^{log2}*e^{[-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]*log2}-2= e^{log2+[-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]*log2}-2 =
e^{log2*(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})])-2=$ $2*[(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]-2=-x^{2}+o(x^{2})$[/size]
Mettendo a limite il "nuovo" denominatore e il "nuovo" numeratore, ottengo:
[size=150]$\lim_{x\to0}{\frac{-x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}+o(x^{2})}}=-1$
[/size]
C'è qualcuno di voi così gentile da dirmi dove sta l'errore?
Vi ringrazio anticipatamente!
vi scrivo perché avrei bisogno di una mano nella risoluzione di un limite tramite lo sviluppo di MacLaurin.
Il limite è $ \lim_{x\to0}{\frac{2^{cosx}-2}{xsenx}}$ e dovrebbe fare $-\log2$.
Io l'ho risolto nel seguente modo (ma evidentemente c'è qualcosa che non va!).
Lo sviluppo del denominatore è: [size=150] $x*senx=x*[x+o(x)]= x^{2}+o(x^{2})$[/size]
Lo sviluppo del numeratore dovrebbe essere:
[size=150]$2^{cosx}-2= 2^{[1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]}-2 = 2* 2^{[-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]}-2=$[/size]
(sfruttando la proprietà secondo cui $x^{\alpha }=e^{\log_{e}x^{\alpha }}=e^{\alpha *\log_{e}x}$, ottengo) :
[size=150]$=e^{log2}*e^{[-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]*log2}-2= e^{log2+[-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]*log2}-2 =
e^{log2*(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})])-2=$ $2*[(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})]-2=-x^{2}+o(x^{2})$[/size]
Mettendo a limite il "nuovo" denominatore e il "nuovo" numeratore, ottengo:
[size=150]$\lim_{x\to0}{\frac{-x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}+o(x^{2})}}=-1$
[/size]
C'è qualcuno di voi così gentile da dirmi dove sta l'errore?
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Credo che il tuo errore sia stato fare lo sviluppo di $cos x$ e non di $2^{cos x}$: quest'ultimo, al secondo ordine, è $2-(ln 2)x^2+o(x^2)$, quindi puoi scrivere la frazione come ${-(ln 2)x^2+o(x^2)}/{x^2+o(x^2)}$, che ha come limite $-ln 2$.
"spugna":
Credo che il tuo errore sia stato fare lo sviluppo di $cos x$ e non di $2^{cos x}$: quest'ultimo, al secondo ordine, è $2-(ln 2)x^2+o(x^2)$, quindi puoi scrivere la frazione come ${-(ln 2)x^2+o(x^2)}/{x^2+o(x^2)}$, che ha come limite $-ln 2$.
Ciao spugna, innanzitutto ti ringrazio per il suggerimento: non avevo proprio pensato a sviluppare direttamente tutta la potenza con l'esponente!
Ho aggiunto la mia risoluzione al testo del messaggio e mi pare di aver fatto i conti correttamente, quindi mi sorge spontaneo chiederti: la scelta di sviluppare solo il coseno può pregiudicare la riuscita dell'esercizio o no? Sono per forza obbligato a sviluppare tutta la potenza?
Grazie!
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