Limite con sviluppo in serie di Taylor

[n.tavaglione96]

ciao a tutti, dovrei risolvere questo limite:

lim x->0 [ln(1+ x^2) - e^[-(x^2)] +cos2x] / [x(x-arcsinx)]

ho provato a svilupparlo con la serie di Taylor, poiche' usando i limiti notevoli mi viene sempre +infinito invece il risultato deve venire 2. quindi ho fatto:

ln(1+x^2)= x^2 - x^4(1/2) + x^6(1/3) + o(...

e^[-(x^2)]= 1- x^2 + x^4(1/2) - x^6(1/6) + o(...

cos2x= 2cos^2(x) -1 = 2- 2(x^2)+ x^4(2/3) - x^6(4/45) -1= 1- 2(x^2)+ x^4(2/3) - x^6(4/45) + o(...

(x)arcsinx= x^2 + x^4(1/6) + x^6(3/40) + o(...


mettendo le serie di Taylor nel limite ho ottenuto:

lim x->0 x^2 - x^4(1/2) + x^6(1/3)- 1- x^2 + x^4(1/2) - x^6(1/6) +1- 2(x^2)+ x^4(2/3) - x^6(4/45) / [x^2 -x^2 + x^4(1/6) + x^6(3/40)]

per il principio di cancellazione degli infinitesimo ho:

lim x->0 -2x^2 / x^4(1/6) = lim x ->0 -12x^2/x^4 = lim x ->0 -12/x^2 = inf



credo di sbagliare nel sostituire, potete aiutarmi?
grazie mille!!
m.

[francicko]

Commetti un errore di calcolo a numeratore, nello sviluppo di $cos(2x)$ infatti e' $cos (2x)=1-2x^2+(2/3)x^4+o (x^4)$;
$-e^(-x^2)=-1+x^2-(1/2)x^4+o (x^4)$
$log (1+x^2)=x^2-(1/2)x^4+o (x^4) $
se rifai i calcoli a numeratore avrai $(2/3)x^4-(1/2)x^4-(1/2)x^4+o (x^4)=-x^4/3+o (x^4)$;
A denominatore hai $-x^4/6+o (x^4)$, quindi il limite diventa:
$lim_(x->0)((-x^4/3)+o (x^4))/((-x^4/6)+o (x^4))$ $=lim_(x->0)(-x^4/3)/(-x^4/6)=6/3=2$

[n.tavaglione96]

ho capito l'errore, grazie mille