Limite con radicale

[AlexlovesUSA]

Ciao a tutti. Ho fatto un bel po di esercizi sui limiti ma arrivato a questo c'è un passaggio che mi blocca. Il limite è il seguente:$lim_(x->0)(root(3)(1+x)-root(3)(1-x))/x$. Procediamo raccogliendo $root(3)(1-x)$ quindi otteniamo $lim_(x->0)root(3)(1-x)(root(3)((((1+x)/(1-x))-1)/x$ fino quì ci siamo. Adesso ottengono questa quantità $lim_(x->0)root(3)((1+(2x)/(1-x))-1)/x$ ma non capisco attraverso quale passaggio ci arrivano .
Il passaggio seguente è molto semplice perchè usiamo l'equivalenza asintotica e il risultato del limite è $2/3$.

[Lorin1]

Se ci pensi un attimo è semplice, basta utilizzare un semplice arteficio, cioè $1+x = 1-x+2x$ quindi abbiamo $(1-x+2x)/(1-x)$ il resto poi è facile

[indovina]

@alexlovesusa
di quale confronto asintotico parli?
non lo ricordo questo

[gugo82]

"AlexlovesUSA":Adesso ottengono questa quantità $lim_(x->0)root(3)((1+(2x)/(1-x))-1)/x$ ma non capisco attraverso quale passaggio ci arrivano.

Il calcolo te l'ha mostrato Lorin; noto però che l'ultimo [tex]$-1$[/tex] va fuori radice.


Però si può risolvere anche in altra maniera.
Ricordo che [tex]$\sqrt[3]{a} -\sqrt[3]{b} =\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2} +\sqrt[3]{ab} +\sqrt[3]{b^2}}$[/tex]... Derazionalizzare non si usa più?:wink:

[AlexlovesUSA]

Ragazzi innanzitutto scusate perchè nel radicale che otteniamo dopo avere estratto $root(3)(x-1)$ la quantità che otteniamo è tutta sotto radice e non solo il numeratore ( l'ho aggiustato ).
@Lorin:Hai proprio ragione non ci avevo pensato. Grazie
@clever: Parlo di questa equivalenza asintotica $(1+x)^(alpha)-1~_0(alpha)x$ nella quale trasformiamo la quantità sotto radice ottenuta e otteniamo il risultato voluto .
@gugo82:Non saprei. Non ho provato in questo modo. Ma molto probabilmente funziona pure, chi lo sa