Limite con punto isolato
ciao ragazzi, sto studiando il concetto di limite e non so se ho capito bene questa cosa:
se un punto $ x $ della funzione tende a un punto isolato $ x_0 $ :
1) la funzione è sempre continua in $ x_0 $ . credo perchè un punto isolato, a differenza del punto di accumulazione, deve sempre appartenere al dominio. giusto?
2) qualsiasi valore $ l $ verificherebbe la definizione di limite. potreste spiegarmi in modo semplice il significato di ciò? anche graficamente magari
se un punto $ x $ della funzione tende a un punto isolato $ x_0 $ :
1) la funzione è sempre continua in $ x_0 $ . credo perchè un punto isolato, a differenza del punto di accumulazione, deve sempre appartenere al dominio. giusto?
2) qualsiasi valore $ l $ verificherebbe la definizione di limite. potreste spiegarmi in modo semplice il significato di ciò? anche graficamente magari
Risposte
L'operazione di limite non è definita in punti isolati.
ho riportato le parole testuali della mia prof.. "qualsiasi valore l verificherebbe la definizione di limite"
è sbagliato?
è sbagliato?
Sì, con la definizione usuale di limite.
Che definizione usate?
Cosa diversa per la continuità: ogni funzione è continua nei punti isolati del proprio dominio.
Che definizione usate?
Cosa diversa per la continuità: ogni funzione è continua nei punti isolati del proprio dominio.
la classica (è in questo contesto che ha scritto ciò): per ogni ε>0...
però abbiamo visto la definizione di limite anche con gli intorni centrati e quella con intorni generici (non centrati).
però abbiamo visto la definizione di limite anche con gli intorni centrati e quella con intorni generici (non centrati).
Il punto di vista della docente, probabilmente, è che l'implicazione:
$x in ]x_0-delta , x_0+delta[ cap "Dom" (f)\setminus \{ x_0\} => |f(x) - l| < epsilon$
è vera quando $]x_0-delta , x_0+delta[ cap "Dom" (f)\setminus \{ x_0\} = \emptyset$ (come sai, un'implicazione con l'antecedente falsa è sempre vera), dunque ogni $l$ è limite di $f$.
Tuttavia, pur essendo un ragionamento logicamente ineccepibile, questo è praticamente inutile.
$x in ]x_0-delta , x_0+delta[ cap "Dom" (f)\setminus \{ x_0\} => |f(x) - l| < epsilon$
è vera quando $]x_0-delta , x_0+delta[ cap "Dom" (f)\setminus \{ x_0\} = \emptyset$ (come sai, un'implicazione con l'antecedente falsa è sempre vera), dunque ogni $l$ è limite di $f$.
Tuttavia, pur essendo un ragionamento logicamente ineccepibile, questo è praticamente inutile.
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