Limite con logaritmi

[ummo89]

Ho un dubbio . . .

In generale vale sempre :

$(b)^n = e^(n log b) $?

del tipo :

$(4n^(log n)) = 4e^((log n)(log n))$

[lordb]

Certo, ecco la dimostrazione:

$e^(log_e(x))=y$

Per definizione: $e^x=y -> x=log_e y$.

Quindi $log_e(x)=log_e(y) <=> x=y$ dunque $e^(log_e(x))=x$.

Posto $x = b^n$ si ha $e^(log_e(b^n))=b^n$.

Posto : ($b_1=b_2=..=b_n$).

Poichè: $log_e(b^n)=log_e(b_1*b_2*....*b_n)=log_e(b_1)+log_e(b_2)+...log_e(b_n)=nlog_e(b)$

Avendo sfruttato che $log_e(a*b)=log_e(a)+log_e(b)$.
Dimostrazione: $a*b=e^(log_e(a))*e^(log_e(b))$, quindi $e^(log_e(a)+log_e(b))=a*b$ e sfruttando la definizione di logaritmo: $log_e(a)+log_e(b)=log_e(a*b).$

resta dunque dimostrato che $e^(n*log_e(b))=b^n$.

[ummo89]

Grazie mille per la spiegazione ! ! !

[ummo89]

il fatto è che sto impazzendo a risolvere questo limite :

$lim n->oo ((((3n^n - (n+1)^n)^2)+(4n^(log n)))/(((n+4)^(2n))+3n^n)$

so che il risultato dovrebbe essere questo (da Wolfram Alpha ) : $(-3+e)^2/e^8 $

Sono arrivato a questo punto:

$lim n->oo ((9e^((2n) ((log n))))+e^((2n) ((log(n+1)))) - (6e^(n(log(n(n+1)))))+(4e^((log n)^2)))/((e^(2n log(n+4)))+(3e^(n log n)))$

[ummo89]

...

[ummo89]

qualche consiglio?
non riesco ad andare avanti ...

[ummo89]

ho risolto ! ! !

[lordb]

bravo, se ti va posta uno o due passaggi cosìcchè se un altro utente del forum avesse un problema simile possa tornargli utile!

[ummo89]

Allora . . . è più facile di quello che sembra . . .

per arrivare a questo punto:

$lim n->oo ((9e^((2n) ((log n))))+e^((2n) ((log(n+1)))) - (6e^(n(log(n(n+1)))))+(4e^((log n)^2)))/((e^(2n log(n+4)))+(3e^(n log n)))$

non ho fatto altro che usare la formula $b^n = e^(n log b)$

Dopo di che ,sapendo che il limite della somma è la somma dei logaritmi ,separo il limite in più limiti :

ora considero il limite :

$lim n->oo (9e^((2n) ((log n))))/((e^(2n log(n+4)))+(3e^(n log n)))$

e divido numeratore e denominatore per $e^((2n) ((log n)))$ :

$lim n->oo 9/(((e^(2n log(n+4)))/(e^((2n) ((log n))))+((3e^(n log n))/(e^((2n) ((log n)))))))$

Che possiamo riscrivere come :

$lim n->oo 9/(((e^(2n log(n+4)-((2n) ((log n)))))+((3e^((n log n)-(((2n) ((log n)))))))))$

Sapendo che $log a - log b = log(a/b)$ riscrivo come :

$lim n->oo 9/((e^(2n log((n+4)/(2n))))+(3e^((n log(n/(n^2))))))$

Abbiamo quindi che al denominatore :

il termine $(e^(2n log((n+4)/(2n))))$ lo possiamo riscrivere come :

$e^(log(1+4/n)^(2n))$

sapendo che $lim n->oo (1+a/n)^(bn) = e^(ab) $

da cui :

$e^(log(1+4/n)^(2n))$ $==>$ $e^(log(e^8))$ $==>$ $e^8$

invece il secondo termine del denominatore : $(3e^((n log(n/(n^2)))))$

lo riscrivamo come : $3e^(nlog(n^-1))$ $==>$ $3e^(-nlog(n))$ che va a zero come $1/oo$

quindi abbiamo che il primo limite viene :

$9/e^8$

Facendo lo stesso ragionamento con le altre parti del limite abbiamo che il tutto viene :

$9/e^8-6/e^7+1/e^6$

[lordb]

Ok perfetto!