Limite con logaritmi

[mark971]

Salve a tutti, sto provando a fare questo limite (che con la regola di le hospital è facilissmo ed è 2) ma senza usare le derivata, solo limiti fondamentali. Come fareste?
$lim x to \infty x log({x+3}/{x+1})$

Il libro mi da anche un consiglio: mi fa notare che l'argomento del logaritmo tende ad 1 quindi si può porre l'argomento = $1 + \epsilon (x)$ infinitesimo. Però non so proseguire

[IlPolloDiGödel]

"mark97":
Il libro mi da anche un consiglio: mi fa notare che l'argomento del logaritmo tende ad 1 quindi si può porre l'argomento = $1 + \epsilon (x)$ infinitesimo.

Permettimi di integrare il consiglio del libro prova a scrivere $ log({x+3}/{x+1}) = log({x+1}/{x+1} + 2/{x+1}) = log(1 + 2/{x+1})$ e da qui è un limite notevole

[mark971]

"IlPolloDiGödel":e da qui è un limite notevole

Sono tardo, ma
$x * log(1 + 2/{x+1})$ sempre infinito per 0 è... Tutti i limiti notevoli che conosco (almeno credo) sono per x tendente a 0
Puoi aggiungere un altro passaggio?

[IlPolloDiGödel]

Beh si, infatti il limite notevole si applica al solo logaritmo Il limite notevole ti dice che $log(1+2/(x+1)) ~ 2/(x+1)$, quindi $x*log(1+2/(x+1)) ~ (2x)/(x+1)$, il cui limite è 2. Bam, fine

[mark971]

Cavolo, hai ragione!! Sono un picio
Grazie infinite