Limite con forma indeterminata 0 per infinito
Ho questo limite: $ lim_(x -> +oo) (( x^2 + 3x +1)/ (x^2 - 2x + 4)) ^(2x+1) $ , di cui ho forma indeterminata $ 1^oo $
Svolgo in questo modo : $ e ^ ((2x+1) * ln ((x^2 + 3x + 1)/ (x^2 - 2x +4))) $.
Questo mi genera però un'altra forma indeterminata: $ oo *0 $ , da cui non riesco proprio ad uscirne.
Volevo sapere, arrivato a questo punto, come riuscire a risolvere. Grazie
Svolgo in questo modo : $ e ^ ((2x+1) * ln ((x^2 + 3x + 1)/ (x^2 - 2x +4))) $.
Questo mi genera però un'altra forma indeterminata: $ oo *0 $ , da cui non riesco proprio ad uscirne.
Volevo sapere, arrivato a questo punto, come riuscire a risolvere. Grazie
Risposte
Ciao.
Non saprei farlo mantenendo una certa eleganza, quindi in attesa di qualche altra risposta ti do un suggerimento:
limite di e^(...) = e^( limite (...) )
sviluppa il prodotto all'esponente: limite [2x ln(...) + ln(...)] = 2 limite [ x ln(...) ] + limite [ ln(...) ]
limite [ ln(...) ] = 0
A questo punto non saprei come continuare, a parte l'Hopital, trasformando x ln(...) così:
ln(...) / (1/x) che è una forma 0/0. C'è da farsi un po' di conti in questo modo, ma alla fine troverai 5 e quindi il risultato viene e^10
Non saprei farlo mantenendo una certa eleganza, quindi in attesa di qualche altra risposta ti do un suggerimento:
limite di e^(...) = e^( limite (...) )
sviluppa il prodotto all'esponente: limite [2x ln(...) + ln(...)] = 2 limite [ x ln(...) ] + limite [ ln(...) ]
limite [ ln(...) ] = 0
A questo punto non saprei come continuare, a parte l'Hopital, trasformando x ln(...) così:
ln(...) / (1/x) che è una forma 0/0. C'è da farsi un po' di conti in questo modo, ma alla fine troverai 5 e quindi il risultato viene e^10
Divido per $ x^2 $ numeratore e denominatore e poi sviluppo i log in serie di Taylor al primo ordine:
$ ((x^2+3x+1)/(x^2-2x+4))^(2x+1)=((1+3/x+1/x^2)/(1-2/x+4/x^2))^(2x+1)=exp[(2x+1)(ln(1+3/x+1/x^2)-ln(1-2/x+4/x^2))]= $
$ = exp[(2x+1)(5/x+o(1/x))]rarre^10 $ per $ xrarr+oo $
Volendo in alternativa avresti potuto sviluppare il denominatore al primo passaggio ricordando che $ 1/(1-x)=1+x+x^2+...$ per $ xrarr0 $.
$ ((x^2+3x+1)/(x^2-2x+4))^(2x+1)=((1+3/x+1/x^2)/(1-2/x+4/x^2))^(2x+1)=[(1+3/x+o(1/x))(1+2/x+o(1/x))]^(2x+1) $ etc
$ ((x^2+3x+1)/(x^2-2x+4))^(2x+1)=((1+3/x+1/x^2)/(1-2/x+4/x^2))^(2x+1)=exp[(2x+1)(ln(1+3/x+1/x^2)-ln(1-2/x+4/x^2))]= $
$ = exp[(2x+1)(5/x+o(1/x))]rarre^10 $ per $ xrarr+oo $
Volendo in alternativa avresti potuto sviluppare il denominatore al primo passaggio ricordando che $ 1/(1-x)=1+x+x^2+...$ per $ xrarr0 $.
$ ((x^2+3x+1)/(x^2-2x+4))^(2x+1)=((1+3/x+1/x^2)/(1-2/x+4/x^2))^(2x+1)=[(1+3/x+o(1/x))(1+2/x+o(1/x))]^(2x+1) $ etc
Scusate ma credo che non sia necessario scomodare taylor, basta aggiungere e togliere a numeratore la quantità
$5x-3$, im modo da ridursi alla forma notevole $lim_(x->infty)(1+(5x-3)/(x^2-2x+4))^(2x+1)$ inoltre essendo che $lim_(x->infty)1+x(5-3/x)/(x^2(1-2/x+4/(x^2))$ $=lim_(n->infty)(1+5/x)$, ed essendo $lim_(x->infty)(2x+1)=lim_(x->infty)2x(1+1/(2x))=lim_(x->infty)2x$ sostituendo avremo il limite equivalente $lim_(x->infty)(1+5/x)^(2x)=lim_(x->infty)[(1+5/x)^(x/5)]^(10)=e^(10)$
$5x-3$, im modo da ridursi alla forma notevole $lim_(x->infty)(1+(5x-3)/(x^2-2x+4))^(2x+1)$ inoltre essendo che $lim_(x->infty)1+x(5-3/x)/(x^2(1-2/x+4/(x^2))$ $=lim_(n->infty)(1+5/x)$, ed essendo $lim_(x->infty)(2x+1)=lim_(x->infty)2x(1+1/(2x))=lim_(x->infty)2x$ sostituendo avremo il limite equivalente $lim_(x->infty)(1+5/x)^(2x)=lim_(x->infty)[(1+5/x)^(x/5)]^(10)=e^(10)$
Francicko: hai usato degli asintotici che in ultima analisi sono degli sviluppi di Taylor al primo ordine...per di piu' hai smontato in piu' parti l'espressione originaria con il rischio di non vedere bene a quale ordine e' necessario fermarsi, non avendo nessun o-piccolo per raccapezzarsi...con Taylor tutti i passaggi restano sotto controllo.
non capisco questa ritrosia di tanti ad usare gli sviluppi di Taylor: sono comodi, sicuri, efficaci e meno complicati rispetto al ricondursi caparpiamente ai limiti notevoli.
non capisco questa ritrosia di tanti ad usare gli sviluppi di Taylor: sono comodi, sicuri, efficaci e meno complicati rispetto al ricondursi caparpiamente ai limiti notevoli.
Grazie a tutti, alla fine opto per Taylor
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