Limite con $e^x$
Ragazzi sto eseguendo lo studio di una funzione e mi sono bloccato nel calcolo del seguente limite:
$lim_{x\to\+oo}(e^x+x)/(e^x-1)$
Applicando De L'Hospital sono arrivato a questo punto:
$lim_{x\to\+oo}(xe^x-1)/(e^x-1)^2$
A questo punto mi sono bloccato.. Per favore, qualcuno potrebbe darmi un aiutino? Vi ringrazio in anticipo.
Spero di non aver fatto errori nei passaggi.
$lim_{x\to\+oo}(e^x+x)/(e^x-1)$
Applicando De L'Hospital sono arrivato a questo punto:
$lim_{x\to\+oo}(xe^x-1)/(e^x-1)^2$
A questo punto mi sono bloccato.. Per favore, qualcuno potrebbe darmi un aiutino? Vi ringrazio in anticipo.
Spero di non aver fatto errori nei passaggi.
Risposte
Beh, la frazione in questione la puoi scrivere anche come somma di due frazione, ossia
$lim_(x->infty)(e^x/(e^x-1) + x/(e^x-1))$, risulta che la seconda frazione darà $0$ (lo si verifica facilmente utilizzando De L'Hopital), mentre la prima frazione si vede subito che il numeratore ed il denominatore hanno lo stesso ordine infinito, quindi il risultato è $1$ (lo si verifica sempre con De L'Hopital).
Ciao
$lim_(x->infty)(e^x/(e^x-1) + x/(e^x-1))$, risulta che la seconda frazione darà $0$ (lo si verifica facilmente utilizzando De L'Hopital), mentre la prima frazione si vede subito che il numeratore ed il denominatore hanno lo stesso ordine infinito, quindi il risultato è $1$ (lo si verifica sempre con De L'Hopital).
Ciao
Non ho capito nulla di quello che hai scritto... e illeggibile.. 
Nel libro c'è scritto che deve risultare 1
Nel libro c'è scritto che deve risultare 1
ho corretto
Sicuro di aver applicato bene de l'Hopital?
Esso serve per semplificare le cose, mica per complicarle (come avviene quando si deriva una funzione razionale). E' il rapporto delle derivate che devi fare, non la derivata del rapporto!
Esso serve per semplificare le cose, mica per complicarle (come avviene quando si deriva una funzione razionale). E' il rapporto delle derivate che devi fare, non la derivata del rapporto!
Si esatto....in seconda battuta mi aggrego a quello che dice "pic" tu sbagli ad applicare De L'Hopital
"pic":Io avevo fatto la derivata del rapporto
Sicuro di aver applicato bene de l'Hopital?
Esso serve per semplificare le cose, mica per complicarle (come avviene quando si deriva una funzione razionale). E' il rapporto delle derivate che devi fare, non la derivata del rapporto!
Sono un disastro...
Ringrazio Alexp per l'aiuto
Oppure puoi riscrivere tutta quella roba come $1 + (x + 1)/(e^x - 1)$ che ovviamente tende a 1 
la soluzione è visibile a occhio, basta un semplice confronto tra infiniti. Infatti, verificando il comportamento all infinto delle funzioni al numeratore e al denominatore puoi vedere che a +$oo$ il numeratore è riducibile ad $e^x$ (spiegato in termini non formali, ricorda che l esponenziale è la funzione che cresce sempre più rapidamente e quindi a +$oo$ vince sempre lei il confronto con tutti) e per il denominatore $e^x$ da cui semplificando ottieni che è 1. In questo caso il teorema dell'hopital non è necessario
bè derivata di $e^x$ a casa mia è $e^x$.. poi se ti accorgi $x = o(e^x)$ quindi il rapporto sarebbe $(e^x + o(x))/(e^x + o(x))$ il quale è uguale ad uno;)
Così e' come facevo ai miei tempi :
$(e^x*(1+x/e^x))/(e^x*(1-1/e^x)) = (1+x/e^x)/(1-1/e^x)$ e, passando ai limiti, $(1+0)/(1-0)=1$ poiche' $e^x$ tende ad $oo$ prima di $x$
$(e^x*(1+x/e^x))/(e^x*(1-1/e^x)) = (1+x/e^x)/(1-1/e^x)$ e, passando ai limiti, $(1+0)/(1-0)=1$ poiche' $e^x$ tende ad $oo$ prima di $x$
sono d'accordo con djyoyo siccome e^x al numeratore e al denominatore hanno lo stesso grado basta fare il rapporto dei loro coefficienti cioè 1 
ciao
ciao
Comunque De L'hopital deve servire in generale quando il limite sarebbe lungo e/o difficile con i calcoli normali, non sempre...
visto che qui si parla di limiti esponenziali, ve ne propongo uno su cui ho avuto dei dubbi, cioè:
lim per x-> -inf ((x+1)^3)/e^(2x) qualcuno mi da una mano a trovare una volta per tutte la soluzione?!?!
vi ringrazio, ciao ciao!
lim per x-> -inf ((x+1)^3)/e^(2x) qualcuno mi da una mano a trovare una volta per tutte la soluzione?!?!
vi ringrazio, ciao ciao!
Ciao,
il risultato è $infty$, infatti l'ordine del numeratore è $3$ ed è dato da $x^3$ quindi gli altri termini si possono trascurare, perciò il limite diventa:
$lim_(x->-infty)((x^3)/e^(2x))$, questo porta alla forma indeterminata $(-infty)/0$, ma utilizzando De L'Hopital, quindi derivando sia il numeratore che il denominatore, si arriva ad avere a numeratore una costante, mentre a denominatore sarà presente ancora l'esponenziale che, tendendo a $0$, da come risultato $infty$.
il risultato è $infty$, infatti l'ordine del numeratore è $3$ ed è dato da $x^3$ quindi gli altri termini si possono trascurare, perciò il limite diventa:
$lim_(x->-infty)((x^3)/e^(2x))$, questo porta alla forma indeterminata $(-infty)/0$, ma utilizzando De L'Hopital, quindi derivando sia il numeratore che il denominatore, si arriva ad avere a numeratore una costante, mentre a denominatore sarà presente ancora l'esponenziale che, tendendo a $0$, da come risultato $infty$.
"Alexp":
Ciao,
il risultato è $infty$, infatti l'ordine del numeratore è $3$ ed è dato da $x^3$ quindi gli altri termini si possono trascurare, perciò il limite diventa:
$lim_(x->-infty)((x^3)/e^(2x))$, questo porta alla forma indeterminata $(-infty)/0$, ma utilizzando De L'Hopital, quindi derivando sia il numeratore che il denominatore, si arriva ad avere a numeratore una costante, mentre a denominatore sarà presente ancora l'esponenziale che, tendendo a $0$, da come risultato $infty$.
Anche io ho seguito il tuo ragionamento e mi sono trovato ad aver a numeratore una costante! Fin qui tutto ok sono arrivato alla conclusione del $+infty$!
Ma perchè poi sono andato a farlo disegnare dal computer mi sono trovato che va a $-infty$! Preso dal dubbio l'ho passato a mathematica e mi da $-infty$... dove sta l'errore??
Faccio i passaggi $x^3/e^(2x) = (3x^2)/(2e^(2x)) = (6x)/(4e^(2x)) = 3/4 1/e^(2x)$ e quindi $3/4 * lim_(x-> -infty) 1/e^(2x)$ a me sembra tanto che fa a $infty$
[asvg]axes();
plot("(x+1)^3 / e^(2x)");[/asvg]
grazie ragazzi, siete stati gentilissimi, ma anche io non riesco a capire come il limite faccia + inf e invece nel grafico vada a
- inf. Ah, sapreste dirmi dove posso trovare il derive, perchè ero riuscito a scaricare la versione trial, ma adesso che è scaduta non me lo fa installare di nuovo, quindi dovrei trovare un modo come installarlo per sempre, grazie, ciao ciao!!
- inf. Ah, sapreste dirmi dove posso trovare il derive, perchè ero riuscito a scaricare la versione trial, ma adesso che è scaduta non me lo fa installare di nuovo, quindi dovrei trovare un modo come installarlo per sempre, grazie, ciao ciao!!
per clockover: non puoi applicare De Hopital in quanto non ricadi nelle ipotesi del teorema che ti chiedono esplicitamente forme del tipo $oo/oo$o$0/0$
è un errore comune!!
è un errore comune!!
allora, potete al denominatore il valore tende a valori vicini allo 0 ma sempre maggiori di esso! cioè tende a 0 da dx!.. il nominatore tende a$-oo$ ergo il tutto tende a $-oo$
Teorema di De Hopital
sia f(x) e g(x) due funzioni infinite o infinitesime per x-->a con a punto di accumulazione nella retta R estesa..allora se abbiamo
(1) le due forme indeterminate sopra dette
(2) l'esistenza della derivata di entrambe le funzioni
(3) g'(x)!=0
allora si può applicare il famoso teorema,altrimenti no..
sia f(x) e g(x) due funzioni infinite o infinitesime per x-->a con a punto di accumulazione nella retta R estesa..allora se abbiamo
(1) le due forme indeterminate sopra dette
(2) l'esistenza della derivata di entrambe le funzioni
(3) g'(x)!=0
allora si può applicare il famoso teorema,altrimenti no..
Si è vero!!!!!!!!! 
che errore banale, me ne vergogno!!!!!!!!! ha ragione "Parme" se hai una quantita a numeratore che tende a $-infty$ e una denominatore che tende a $0$ è ovvio che il risultato sia $-infty$.....ossia il limite può essere scitto come:
$lim_(x->-infty)(x^3)(1/e^(2x))$ il che è come dire $-infty*infty$ che da $-infty$
che errore banale, me ne vergogno!!!!!!!!! ha ragione "Parme" se hai una quantita a numeratore che tende a $-infty$ e una denominatore che tende a $0$ è ovvio che il risultato sia $-infty$.....ossia il limite può essere scitto come:$lim_(x->-infty)(x^3)(1/e^(2x))$ il che è come dire $-infty*infty$ che da $-infty$
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