Limite con e e confronto tra infiniti

[Chiò1]

Salve ragazzi qualcuno così gentile da dare un occhiata al mio svolgimento del seguente limite?
$limx->-∞ e^((2^(3x)-3^(2x)+4^(2x))/8^x$
posso operare col confronto tra infiniti ad esponente quindi confronto gli infiniti di ordine superiore quindi studio
$4^(2x)/8^x =$

$= $$2^(4x)/2^(3x) = 2^x$

$limx->-∞e^(2^x) = 1$

in quanto 2 elevato a meno infinito tende a 0 e $e^0=1$ che dite è giusto?

[Zero87]

EDIT, svista personale, si va a $-\infty$ perciò mi cospargo il capo di cenere e cancello l'obbrobrio di risposta che ho dato.

[francicko]

Provo a darti una risposta sperando che sia giusta, allora proviamo a vedere quanto fa il $lim_(x->-infty)(2^(3x)-3^(2x)+4^(2x))/(8^x)$ $=lim_(x->-infty)(8^x-9^x+16^x)/(8^x)=lim_(x->-infty)$ $((8^x/8^x)-(9^x/8^x)+(16^x/8^x))$ $=lim_(x->-infty)$ $(1-(9/8)^x+(16/8=2)^x)$ $=lim_(x->infty)$ $(1-(8/9)^x+(1/2)^x)$, adesso osservando che $lim_(x->infty)(8/9)^x=0$ in quanto $(8/9)<1$ ed $lim_(x->infty)$ $(1/2)^x=0$ sempre per lo stesso motivo, calcolando avremo $1-0+0=1$, e sostituendo al limite da te riportato avremo $e^1=e$, pertanto il valore del limite cercato è $e$.

[Chiò1]

francicko ma se operassimo come confronto fra infiniti non potremmo giungere alla stessa conclusione?

[francicko]

x@Chiò. Giusto, hai detto bene!
Essendo che il limite è per $x->-infty$ allora, $8^(-infty)=(1/8)^infty$, diventa l'infinito di ordine superiore rispetto ad $-9^(-infty)=(-1/9)^(infty)$, ed a $16^(-infty)=(1/16)^(infty)$, quindi trascurando gli infiniti di ordine inferiore il limite diventa $lim_(x->infty)(1/8)^x/(1/8)^x=1$. Quindi $e^0=1$ come risultato finale.
Se il limite fosse stato $lim_(x->infty)(8^x-9^x+16^x)/8^x$ allora evidentemente l'infinito di ordine superiore sarebbe stato $16^infty $e si avrebbe $lim_(x->infty)(16^x)/8^x=(16/8)^x=2^x=infty$. E da qui avremmo avuto $e^infty=infty$, come risultato finale.
Saluti!

[Chiò1]

grazie mille