Limite con cotg

[Estel~Aragorn]

Ho questo limite
$ lim_(x -> 0+) ((1+x^(2))^((cot x)^(2))-e) / (x^(3)) $

ho aggiunto e sottratto uno a numeratore per ottenere questo
$ lim_(x -> 0+) ((1+x^(2))^((cot x)^(2))-1) / (x^(2)) * 1/x + (1-e)/x^(3) $

il secondo addendo è un numero negativo su uno zero positivo, il tutto quindi è $ -oo $
al primo addendo invece ho un limite notevole (che come risultato dà cotangente al quadrato) moltiplicato per $ 1/x $

$ -oo + lim_(x -> 0+) (cot x)^(2)/x$
ora con questo limite ho la forma indeterminata 0/0

usando l'hopital, trovo
$lim_(x -> 0+) 2(1/(xsen^(2)x) + cosx/(xsen^(3)x) +3cosx/(xsen^(4)x))$
tutti gli addendi tendono a $ +oo $

quindi mi trovo con la forma indeterminata $ -oo +oo $ , mentre secondo wolfram dovrei ottenere $ -oo $

ho sbagliato qualche passaggio?

[21zuclo]

"Estel~Aragorn": $ lim_(x -> 0+) ((1+x^(2))^((cot x)^(2))-e) / (x^(3)) $

io avrei fatto così, sarei partito facendo

$\lim_{x\rightarrow 0}(\exp\{\cot^2 x \cdot \ln(1+x^2)\}-e)/(x^3)$

qui visto che la $x\rightarrow 0$ puoi usare gli sviluppi di Taylor-McLaurin e successivamente puoi raccogliere a numeratore la $e$ e sviluppare ancora..

prova!

[Estel~Aragorn]

non credo si risolva niente
per il primo esponenziale avrei qualcosa tipo
$ x+ x^2/2 + x^3/6 ...$ e non saprei cmq a quale termine fermarmi
il secondo è solo il numero e

[21zuclo]

ti do una spinta..

$\lim_{x\rightarrow 0}(\exp\{(\cot x)^2\cdot (x^2+o(x^2))\}-e)/(x^3)=\lim_{x\rightarrow0 } (e[\exp\{(\cot^2 x)\cdot x^2\-1}-1])/(x^3)=....$