Limite con Arcotangente

[thegeekbay1]

Buonpomeriggio a tutti quanti, ho un piccolo dubbio per la risoluzione di un limite:

$ lim_(x -> oo) x(Pi/2-arctan(x)) $

Quello che avevo provato a fare io era di porre $ x = 1/x $ in modo da spostare il limite $ lim (x ->oo) 1/x = 0 $, e quindi calcolare il limite

$ lim_(x -> 0) 1/x(Pi/2-arctan(1/x)) $

e poter in questo modo applicare il limite notevole per l'arcotangente. Ma mi blocco qui

$ ((Pi/2)-(1/(x)))/x $

e ritorno in una situazione di indeterminatezza. Ah, il risultato deve essere 1. Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao thegeekbay,

Io lo scriverei nel modo seguente:

$lim_(x -> oo) frac{pi/2-arctan(x)}{frac{1}{x}}$

Poi applicherei la regola di l'Hopital...

[francicko]

Se non si vuole ricorrere ad Hopital si può sfruttare una proprietà dell'arcotangente:
$arctanx+arctan (1/x)=pi/2$, per $x>0$, sostituendo il limite diventa:
$lim_(x->+infty)x (arctanx+arctan (1/x)-arctanx) $ $= lim_(x->+infty)xarctan (1/x) $ $=lim_(x->+infty)arctan (1/x)/(1/x) $,
ma $arctan (1/x)~(1/x)$, pertanto si ha $lim_(x->+infty)(1/x)/(1/x)=1$