Limite con arcocoseno
Salve a tutti, è la prima volta che scrivo su questo forum anche se è già da qualceh mese che vi leggo.
Vorrei proporvi un esercizio che non riesco a risolvere, forse perchè non conosco qualche limite notevole con l'arcocoseno:
Calcolare
limite per x che tende a 0 di
$(4^((arccos(1/(1+x^2))))^2)-1)$
tutto diviso per logaritmo in base 4 di (x+1)
(scusate se non sono risucito a scrivere bene la formula, spero di essere stato sufficientemente chiaro, ma sono ancora all'inizio)
Dovrebbe venire 0
Grazie
Feliciano
Vorrei proporvi un esercizio che non riesco a risolvere, forse perchè non conosco qualche limite notevole con l'arcocoseno:
Calcolare
limite per x che tende a 0 di
$(4^((arccos(1/(1+x^2))))^2)-1)$
tutto diviso per logaritmo in base 4 di (x+1)
(scusate se non sono risucito a scrivere bene la formula, spero di essere stato sufficientemente chiaro, ma sono ancora all'inizio)
Dovrebbe venire 0
Grazie
Feliciano
Risposte
Ragiona sugli ordini di infinitesimo...
oppure in alternativa prova taylor...ma penso che non vai molto avanti
oppure in alternativa prova taylor...ma penso che non vai molto avanti
$\lim_{x to 0}a^x/(ln_ax)=0$, con $a>0$
Grazie per la risposta.
Per quanto riguarda gli ordini di infinitesimi, ora ci provo. Taylor non lo posso usare perchè si tratta di un esercizio riguardante i limiti notevoli.
Grazie
Feliciano
Per quanto riguarda gli ordini di infinitesimi, ora ci provo. Taylor non lo posso usare perchè si tratta di un esercizio riguardante i limiti notevoli.
Grazie
Feliciano
Se quel quadrato si riferisce ad arccos allora il limite richiesto si può anche scrivere al seguente modo:
$lim_(x->0)[(4^(arccos^2(1/(1+x^2)))-1)/(arccos^2(1/(1+x^2)))*((arccos(1/(1+x^2)))/x)^2*x/(ln_4(1+x))*x]$
Ora per x->0 il primo ed il terzo fattore del prodotto in parentesi quadra tendono ( limiti notevoli !) rispettivamente a ln4 e a 1/ln4 ,mentre il quarto fattore tende ovviamente a zero.Pertanto,per avere come risultato 0 ( come richiesto) ,basterà dimostrare che il secondo fattore tende ad un limite finito.Non potendo usare nessuno dei metodi così tanto...cari (leggi Taylor ,approssimazioni asintotiche ,de L'Hopital e quant'altro),ho avuto una botta di fantasia che ha prodotto il seguente ragionamento.
Poniamo $1+x^2=sqrt(1+tan^2y)$ con tany>=0, da cui si ricava che $tany=sqrt((2x^2+x^4))=|x|sqrt(2+x^2),arccos(1/(1+x^2))=arccos(1/(sqrt(1+tan^2y)))=arccos(cosy)=y$.
Ne segue che il limite in questione si può anche scrivere come:
$lim_(x->0)y/x=lim_(y->0)[y/(tany)*(tany)/x]=lim_(y->0)y/(tany)*lim_(x->0)(|x|sqrt(2+x^2))/x=+-sqrt2$
Risultati analoghi si ottengono se si suppone tany<=0.
Ciao
$lim_(x->0)[(4^(arccos^2(1/(1+x^2)))-1)/(arccos^2(1/(1+x^2)))*((arccos(1/(1+x^2)))/x)^2*x/(ln_4(1+x))*x]$
Ora per x->0 il primo ed il terzo fattore del prodotto in parentesi quadra tendono ( limiti notevoli !) rispettivamente a ln4 e a 1/ln4 ,mentre il quarto fattore tende ovviamente a zero.Pertanto,per avere come risultato 0 ( come richiesto) ,basterà dimostrare che il secondo fattore tende ad un limite finito.Non potendo usare nessuno dei metodi così tanto...cari (leggi Taylor ,approssimazioni asintotiche ,de L'Hopital e quant'altro),ho avuto una botta di fantasia che ha prodotto il seguente ragionamento.
Poniamo $1+x^2=sqrt(1+tan^2y)$ con tany>=0, da cui si ricava che $tany=sqrt((2x^2+x^4))=|x|sqrt(2+x^2),arccos(1/(1+x^2))=arccos(1/(sqrt(1+tan^2y)))=arccos(cosy)=y$.
Ne segue che il limite in questione si può anche scrivere come:
$lim_(x->0)y/x=lim_(y->0)[y/(tany)*(tany)/x]=lim_(y->0)y/(tany)*lim_(x->0)(|x|sqrt(2+x^2))/x=+-sqrt2$
Risultati analoghi si ottengono se si suppone tany<=0.
Ciao
Si il quadrato si riferisce all'arcocoseno.
Grazie mille per l'interessamento.
Molto interessante, e soprattutto molto intelligente, il tuo ragionamento.
(non ci sarei mai arrivato!!!!!)
Solo una cosa: io mi trovo $tany=(2x^2+x^4)^(1/2)$ e quindi alla fine viene + o - $2^(1/2)$.
La sostanza comunque non cambia.
Giusto per una correttezza di trascrizione, si tratta di un errore di battitura oppure c'è qualcosa che mi sfugge?
Ancora grazie mille
Feliciano
Grazie mille per l'interessamento.
Molto interessante, e soprattutto molto intelligente, il tuo ragionamento.
(non ci sarei mai arrivato!!!!!)
Solo una cosa: io mi trovo $tany=(2x^2+x^4)^(1/2)$ e quindi alla fine viene + o - $2^(1/2)$.
La sostanza comunque non cambia.
Giusto per una correttezza di trascrizione, si tratta di un errore di battitura oppure c'è qualcosa che mi sfugge?
Ancora grazie mille
Feliciano
Hai ragione :ho sbagliato il doppio prodotto .Vado a correggere.
Ciao
Ciao
Grazie ancora e di nuovo complimenti.
Feliciano
Feliciano
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