Limite calcolato in vari modi

gcappellotto
Buongiorno
propongo di calcolare il seguente limite:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x+x^5}{x^3} $
Primo modo (limite notevole):
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x+x^5}{x^3}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(x)}{x}-1+x^4}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1-1+x^4}{x^3}=0$
Secondo modo (equivalenza asintotica):
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x+x^5}{x^3} \sim \lim_{x \to 0} \frac{x-x+x^5}{x^3} =0$
Terzo modo (Hopital)
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x+x^5}{x^3}$ forma 0/0
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x+x^5}{x^3}=\frac{\cos(x)-1+5x^4}{3x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{-sin(x)+20x^3}{6x}=\lim_{x \to 0} {-cos(x)+60x^2}{6}=-\frac{1}{6}$
Quarto modo (o piccolo)
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x+x^5}{x^3}=\lim_{x \to 0} \frac{x+o(x)-x+x^5}{x^3}=\frac{o(x)}{o(x)}$ ??

Quale dei dei quattro risultati è corretto?
Con quali giustificazioni?
Grazie e saluti
Giovanni C.

Risposte
phaerrax
Usare limiti notevoli e asintotici in mezzo a somme è pericoloso, ed è meglio evitarlo.
Vedi tu stesso che al numeratore approssimi \(\sin x\) con \(x\), ma quell'\(x\) si cancella con l'altro già presente e ottieni zero, che non è corretto: è chiaro che \(\sin x-x\) non è asintotico a zero.
Visto che al denominatore c'è una potenza \(x^3\), è utile sviluppare il numeratore fino al terzo ordine in modo da ottenere dei termini fino a \(o(x^3)\), in modo poi da raggruppare \(x^3\) da tutti e semplificare.
Ottieni
\[
\frac{\sin(x)-x+x^5}{x^3}=\frac{x-\frac16x^3+o(x^3)-x+x^5}{x^3}=\frac{-\frac16x^3+o(x^3)}{x^3}=-\frac16+o(1),
\]
da cui ottieni il limite \(-\frac16\).

Il metodo di De L'Hopital è corretto, il principio di base è lo stesso, forse è solo più noioso derivare per tre volte (per arrivare fino al terzo ordine, in \(x^3\)).
Il quarto metodo con gli o-piccoli sarebbe stato corretto se non ti fossi fermato al primo ordine, se no tanto vale usare gli asintotici: il fatto che hai ottenuto una frazione del tipo \(\frac{o(x)}{o(x)}\) è segno che devi continuare a sviluppare ad ordini più alti.

francicko
Condivido a pieno quanto detto da @phaerrax, l 'uso del limite notevole equivale ad uno sviluppo asintotico arrestato al primo termine che in questo caso risulta insufficiente visto che a denominatore abbiamo un unico termine in $x $, e di grado maggiore di uno;
In questo caso gli unici metodi utili per arrivare al corretto risultato sono lo sviluppo in serie di Taylor o l'uso di Hopital dove vengono presi in considerazione termini in $x $ di grado superiore al primo.

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