Limite banalissimo
scusate ma sono totalmente in palla e sono bloccato su questo limite per $ n -> +oo $ :
$ log (2n)/log (n^3) $
ringrazio chiunque avrà pietà.
$ log (2n)/log (n^3) $
ringrazio chiunque avrà pietà.
Risposte
Chiedo scusa ho fatto confusione tra log e ln...summerwind ha ragione 
ciao
calcolando il limite cosí com'é ottiene una forma indeterminata del tipo $oo/oo$
ma sia il numeratore che il denominatore sono sempre continui e derivabili quindi puoi applicare de l'hopital
quindi hai
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(2n)}{\ln(n^3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{d}{dn} \ln(2n)}{ \frac{d}{dn} \ln(n^3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}} =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}[/tex]
spero ti sia tutto chiaro
se hai dubbi chiedi pure
ciao
calcolando il limite cosí com'é ottiene una forma indeterminata del tipo $oo/oo$
ma sia il numeratore che il denominatore sono sempre continui e derivabili quindi puoi applicare de l'hopital
quindi hai
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(2n)}{\ln(n^3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{d}{dn} \ln(2n)}{ \frac{d}{dn} \ln(n^3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}} =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}[/tex]
spero ti sia tutto chiaro
se hai dubbi chiedi pure
ciao
Oppure potresti fare $lim_(n->+oo)(log2+logn)/(3logn)=lim_(n->+oo)(logn(log2/logn+1))/(3logn)=1/3$
"anonymous_c5d2a1":
Oppure potresti fare $lim_(n->+oo)(log2+logn)/(3logn)=lim_(n->+oo)(logn(log2/logn+1))/(3logn)=1/3$
verissimo, non ci avevo pensato
probabilmente é anche piú semplice
ringrazio tutti per la cortesia.
il limite è un pezzettino di
$ lim_(n->+oo) (2n)/log(n^3)[log^2(n+1)-log^2(n)] $
che ho cercato di risolvere così:
$ lim_(n->+oo) (2n)/log(n^3)[log^2(n+1)-log^2(n)] $
$ [[log((2n+2)/(2n))]^(2n)]/log(n^3) $
$ [[log((1+1/n)^n)^(1/n)]^(2n)]/(log(n^3)) $
$(e^2)/(log(n^3)) $ che per quanto ne so dovrebbe andare a zero.
non sono però per niente convinto, devo sbagliare qualche passaggio in mezzo...
grazie ancora.
il limite è un pezzettino di
$ lim_(n->+oo) (2n)/log(n^3)[log^2(n+1)-log^2(n)] $
che ho cercato di risolvere così:
$ lim_(n->+oo) (2n)/log(n^3)[log^2(n+1)-log^2(n)] $
$ [[log((2n+2)/(2n))]^(2n)]/log(n^3) $
$ [[log((1+1/n)^n)^(1/n)]^(2n)]/(log(n^3)) $
$(e^2)/(log(n^3)) $ che per quanto ne so dovrebbe andare a zero.
non sono però per niente convinto, devo sbagliare qualche passaggio in mezzo...
grazie ancora.
Ma il tuo limite è questo $lim_(n->+oo)(2n)/logn^3[log^2(n+1)-log^2n]$ oppure questo $lim_(n->+oo)(log2n)/logn^3[log^2(n+1)-log^2n]$?
è questo $lim_(n->+oo)(2n)/logn^3[log^2(n+1)-log^2n]$ (*)
quello che ho chiesto all'inizio mi veniva fuori cercando di risolvere (*) e non riuscivo a saltarci fuori.
quello che ho chiesto all'inizio mi veniva fuori cercando di risolvere (*) e non riuscivo a saltarci fuori.
Ciao, prima di tutto accertati che il tuo professore gradisca l'utilizzo di De l'hopital nelle successioni..
Per risolvere il limite io userei gli sviluppi di Taylor, e se non gli vanno bene manco questi per le successioni non dovrebbe essere troppo difficile trovare una via con i limiti notevoli
$lim_(n->+oo) (2n)/log(n^3)[log^2(n+1)-log^2(n)]$
$lim_(n->+infty) (2n)[(log(n(1+1/n)))^2-log^2(n)]/(3log(n))$
Qui uso la proprietà dei logaritmi: $log(n(1+1/n))=log(n)+log(1+1/n)$
Per $n->+infty$, $log(1+1/n)\sim 1/n$
$lim_(n->+infty) (2n)[(log(n)+1/n)^2-log^2(n)]/(3log(n))$
$lim_(n->+infty) (2n) [log^2(n)+2log(n)/n+1/n^2-log^2(n)]/(3log(n))$
$lim_(n->+infty) (2n) [2log(n)/n +1/n^2]/(3log(n))$
$lim_(n->+infty) (4log(n)+2/n)/(3log(n))=4/3$
Per risolvere il limite io userei gli sviluppi di Taylor, e se non gli vanno bene manco questi per le successioni non dovrebbe essere troppo difficile trovare una via con i limiti notevoli
$lim_(n->+oo) (2n)/log(n^3)[log^2(n+1)-log^2(n)]$
$lim_(n->+infty) (2n)[(log(n(1+1/n)))^2-log^2(n)]/(3log(n))$
Qui uso la proprietà dei logaritmi: $log(n(1+1/n))=log(n)+log(1+1/n)$
Per $n->+infty$, $log(1+1/n)\sim 1/n$
$lim_(n->+infty) (2n)[(log(n)+1/n)^2-log^2(n)]/(3log(n))$
$lim_(n->+infty) (2n) [log^2(n)+2log(n)/n+1/n^2-log^2(n)]/(3log(n))$
$lim_(n->+infty) (2n) [2log(n)/n +1/n^2]/(3log(n))$
$lim_(n->+infty) (4log(n)+2/n)/(3log(n))=4/3$
Proporrei anche questo:
$lim_(n->+oo)(2n)/logn^3[log^2(n+1)-log^2n]$
$2/3lim_(n->+oo)(n)/logn[log^2n(1+1/n)-log^2n]$
$2/3lim_(n->+oo)(n)/logn[(logn+log(1+1/n))^2-log^2n]$
$2/3lim_(n->+oo)(n)/logn[log^2n+2lognlog(1+1/n)+log^2(1+1/n)-log^2n]$
$2/3lim_(n->+oo)(2lognlog(1+1/n))/(1/nlogn)+2/3lim_(n->+oo)(log^2(1+1/n))/(1/n^2n^2/nlogn)$
$lim_(n->+oo)(2n)/logn^3[log^2(n+1)-log^2n]$
$2/3lim_(n->+oo)(n)/logn[log^2n(1+1/n)-log^2n]$
$2/3lim_(n->+oo)(n)/logn[(logn+log(1+1/n))^2-log^2n]$
$2/3lim_(n->+oo)(n)/logn[log^2n+2lognlog(1+1/n)+log^2(1+1/n)-log^2n]$
$2/3lim_(n->+oo)(2lognlog(1+1/n))/(1/nlogn)+2/3lim_(n->+oo)(log^2(1+1/n))/(1/n^2n^2/nlogn)$
grazie.
nota a margine e contestuale consiglio tecnico che vi chiedo: "verificare" il limite con un plotter è affidabile?
ps per obidream: hopital e taylor non sono stati fatti a lezione e non sono in programma quindi per ora la mia unica via sono i limiti notevoli.
nota a margine e contestuale consiglio tecnico che vi chiedo: "verificare" il limite con un plotter è affidabile?
ps per obidream: hopital e taylor non sono stati fatti a lezione e non sono in programma quindi per ora la mia unica via sono i limiti notevoli.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 3Einfinity
Questo funziona bene, lascia perdere Show Steps che molte volte fa dei passaggi assurdi
Questo funziona bene, lascia perdere Show Steps che molte volte fa dei passaggi assurdi
"Obidream":
$lim_(n->+oo) (2n)/log(n^3)[log^2(n+1)-log^2(n)]$
$lim_(n->+infty) (2n)[(log(n(1+1/n)))^2-log^2(n)]/(3log(n))$
Qui uso la proprietà dei logaritmi: $log(n(1+1/n))=log(n)+log(1+1/n)$
Sin qui è sempre valido quel che ho fatto; da qui provo con i limti notevoli:
$lim_(n->+infty) (2n)[(log(n)+log(1+1/n))^2-log^2(n)]/(3log(n))$
Ora cerco di usare il limite notevole: $lim_(x->0) log(1+x)/x=1$
$lim_(n->+infty) (2n)[(log(n)+log(1+1/n)/(1/n)*(1/n))^2-log^2(n)]/(3log(n))$
Adesso per $n->+infty$, $log(1+1/n)/(1/n)=1$ quindi $1*(1/n)=1/n$ e ti rimane quel che avevo ottenuto prima con gli Sviluppi, però attendi conferma perché non so quanto sia lecito
Ciao. Penso che si potrebbe fare anche così:
[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2n}{\log n^3}[\log^2(n+1)-\log^2 n][/tex]__$=$__[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2n}{3\log n}[\log(n+1)-\log n][\log(n+1)+\log n][/tex]__$=$
[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2n}{3\log n}\log\left ( 1+\frac{1}{n} \right )[\log(n+1)+\log n][/tex]__$=$__[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{3}\cdot\log\left [ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \right ]\cdot\frac{\log(n+1)+\log n}{\log n}[/tex]__$=$
[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{3}\cdot\log e \cdot \left ( \frac{\log(n+1)}{\log n}+1 \right )[/tex]__$=$__[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{3}\cdot \left ( \frac{\log(n+1)}{\log n}+1 \right )[/tex]__;
rimane da calcolare il limite del rapporto entro parentesi; osservando che, $ \forall n>1$, vale:
[tex]\frac{\log n}{\log n}\leq \frac{\log(n+1)}{\log n}\leq\frac{\log(2n)}{\log n}=\frac{\log n+\log 2}{\log n}=1+\frac{\log2}{\log n}[/tex]__e che i termini estremi di queste disuguaglianze
tendono a $1$ per $n \rightarrow +oo$, il teorema del confronto porta a concludere che il rapporto in questione tende allo stesso limite. Quindi quello proposto vale $2/3*(1+1)=4/3$ .
[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2n}{\log n^3}[\log^2(n+1)-\log^2 n][/tex]__$=$__[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2n}{3\log n}[\log(n+1)-\log n][\log(n+1)+\log n][/tex]__$=$
[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2n}{3\log n}\log\left ( 1+\frac{1}{n} \right )[\log(n+1)+\log n][/tex]__$=$__[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{3}\cdot\log\left [ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \right ]\cdot\frac{\log(n+1)+\log n}{\log n}[/tex]__$=$
[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{3}\cdot\log e \cdot \left ( \frac{\log(n+1)}{\log n}+1 \right )[/tex]__$=$__[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{3}\cdot \left ( \frac{\log(n+1)}{\log n}+1 \right )[/tex]__;
rimane da calcolare il limite del rapporto entro parentesi; osservando che, $ \forall n>1$, vale:
[tex]\frac{\log n}{\log n}\leq \frac{\log(n+1)}{\log n}\leq\frac{\log(2n)}{\log n}=\frac{\log n+\log 2}{\log n}=1+\frac{\log2}{\log n}[/tex]__e che i termini estremi di queste disuguaglianze
tendono a $1$ per $n \rightarrow +oo$, il teorema del confronto porta a concludere che il rapporto in questione tende allo stesso limite. Quindi quello proposto vale $2/3*(1+1)=4/3$ .
ringrazio di nuovo tutti per l'aiuto.
se avete voglia vi sottopongo un altro limite di successioni che non riesco a risolvere per le solite forme di indeterminazione.
come prima no de l'hopital o taylor .
$lim_(n->+oo) n{2+n^2sin(1/n)-sqrt(n^2+4n+5)}$
ovviamente l' $n$ fuori è "irrilevante" e posso studiare la successione tra le graffe. applicando gli o-piccoli e le relazioni asintotiche mi viene banalmente $n{2}$, che non è il risultato.
ho provato un elevamento del tipo $lim_(n->+oo) log(e^(f(x)))$ ma senza fortuna.
avete approcci più costruttivi?
grazie.
p.s.: il limite fa $-2/3$
se avete voglia vi sottopongo un altro limite di successioni che non riesco a risolvere per le solite forme di indeterminazione.
come prima no de l'hopital o taylor
.$lim_(n->+oo) n{2+n^2sin(1/n)-sqrt(n^2+4n+5)}$
ovviamente l' $n$ fuori è "irrilevante" e posso studiare la successione tra le graffe. applicando gli o-piccoli e le relazioni asintotiche mi viene banalmente $n{2}$, che non è il risultato.
ho provato un elevamento del tipo $lim_(n->+oo) log(e^(f(x)))$ ma senza fortuna.
avete approcci più costruttivi?
grazie.
p.s.: il limite fa $-2/3$
Ciao. Guarda se può funzionare:
$n[2+n^2 sin(1/n)-sqrt(n^2+4n+4+1)]$__$=$__$n{2+n^2[1/n-1/(6n^3)+o(1/(n^3))]-(n+2)sqrt(1+1/((n+2)^2))}$__$=$
$=n{2+n-1/(6n)+o(1/(n))-(n+2)[1+1/(2(n+2)^2)+o(1/((n+2)^2))]}$__$=$
$=n[2+n-1/(6n)+o(1/(n))-n-2-1/(2(n+2))+o(1/(n+2))]$__$=$__$n[-1/(6n)-1/(2(n+2))+o(1/n)]=$
$=-1/6-n/(2(n+2))+o(1)=-1/6-1/2+o(1)=-2/3+o(1)$.
$n[2+n^2 sin(1/n)-sqrt(n^2+4n+4+1)]$__$=$__$n{2+n^2[1/n-1/(6n^3)+o(1/(n^3))]-(n+2)sqrt(1+1/((n+2)^2))}$__$=$
$=n{2+n-1/(6n)+o(1/(n))-(n+2)[1+1/(2(n+2)^2)+o(1/((n+2)^2))]}$__$=$
$=n[2+n-1/(6n)+o(1/(n))-n-2-1/(2(n+2))+o(1/(n+2))]$__$=$__$n[-1/(6n)-1/(2(n+2))+o(1/n)]=$
$=-1/6-n/(2(n+2))+o(1)=-1/6-1/2+o(1)=-2/3+o(1)$.
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