Limite a due variabili
lim (x^3y^2+x^2y^3)/(x^4+y^4)
(x,y)>(0,0)
Sostituendo x=rcos(t)
e y=rsin(t)
e facendo i calcoli ottengo
r[(cos^3(t)sin^2(t)+cos^2(t)sin^3(t)]/[cos^4(t)+sin^4(t)]
Arrivato a questo punto, ad istinto direi che tutto tende a zero perché r -> 0 e per qualsiasi valore di t io prenda in considerazione, il risultato mi sembra sempre uguale a 0. Invece so che devo studiare l'uniformità del limite rispetto a teta.
Come si fa? e soprattutto perché devo farlo se il limite tende comunque a zero??
Grazie mille
Ivano
(x,y)>(0,0)
Sostituendo x=rcos(t)
e y=rsin(t)
e facendo i calcoli ottengo
r[(cos^3(t)sin^2(t)+cos^2(t)sin^3(t)]/[cos^4(t)+sin^4(t)]
Arrivato a questo punto, ad istinto direi che tutto tende a zero perché r -> 0 e per qualsiasi valore di t io prenda in considerazione, il risultato mi sembra sempre uguale a 0. Invece so che devo studiare l'uniformità del limite rispetto a teta.
Come si fa? e soprattutto perché devo farlo se il limite tende comunque a zero??
Grazie mille
Ivano
Risposte
Se non erro il limite deve uniformemente tendere a 0 per Theta che varia da 0 a 2pi e dal momento che il denominatore di ciò che hai sviluppato non si annulla mai il tutto tende a 0 per rho che tende a 0.
Il fatto che il limite tenda a 0 comunque (per ogni valore di t) è sostanzialmente la condizione di convergenza uniforme rispetto a t.
Comunque:
il numeratore:
| (cos^3(t)sin^2(t)+cos^2(t)sin^3(t) | <=
<= |cos^3(t)|sin^2(t)+cos^2(t)|sin^3(t)| <=
<= 2
il denominatore:
cos^4(t)+sin^4(t) >= 1/2 (lo puoi dimostrare trovando il minimo con la derivata)
Quindi
r[(cos^3(t)sin^2(t)+cos^2(t)sin^3(t)]/[cos^4(t)+sin^4(t)]<=4r
4r tende a 0 e quindi il limite è 0.
Comunque:
il numeratore:
| (cos^3(t)sin^2(t)+cos^2(t)sin^3(t) | <=
<= |cos^3(t)|sin^2(t)+cos^2(t)|sin^3(t)| <=
<= 2
il denominatore:
cos^4(t)+sin^4(t) >= 1/2 (lo puoi dimostrare trovando il minimo con la derivata)
Quindi
r[(cos^3(t)sin^2(t)+cos^2(t)sin^3(t)]/[cos^4(t)+sin^4(t)]<=4r
4r tende a 0 e quindi il limite è 0.
Il metodo proposto da Dazuco purtroppo non è corretto (il prof ha detto che non va bene)
Vorrei sapere da Goblyn come ha fatto a ricavare il 2 al numeratore. Studiando il massimo assoluto?
Grazie ancora =)
Ivano
Vorrei sapere da Goblyn come ha fatto a ricavare il 2 al numeratore. Studiando il massimo assoluto?
Grazie ancora =)
Ivano
Ho utilizzato la proprietà (disuguaglianza triangolare):
|a+b|<=|a|+|b|
e il fatto che |ab|=|a||b|.
Poiché gli argomenti dei moduli sono seni e coseni il loro valore max è sempre 1. La somma quindi vale max 2.
|a+b|<=|a|+|b|
e il fatto che |ab|=|a||b|.
Poiché gli argomenti dei moduli sono seni e coseni il loro valore max è sempre 1. La somma quindi vale max 2.
Preciso meglio la mia ultima affermazione: la somma è sempre minore o uguale a 2 (non è detto cioè che assuma il valore 2 per qualche t).
come mai non è corretto?
Dazuco, secondo me il ragionamento che sta sotto la tua conclusione è giusto, solo che (per il prof) sottintendi troppe cose. Se non ho capito male intendevi questo:
Il numeratore va palesemente a 0 per ogni valore di teta (anche questo ad essere pignoli va dimostrato ma va beh). Quindi l'unico modo che ha quell'espressione di tendere ad un numero diverso da 0 è che il denominatore vada a 0 per qualche valore di teta. Ma ciò non avviene quindi il limite è 0.
Immagino però che il prof pretenda la giustificazione di ogni passaggio.
Il numeratore va palesemente a 0 per ogni valore di teta (anche questo ad essere pignoli va dimostrato ma va beh). Quindi l'unico modo che ha quell'espressione di tendere ad un numero diverso da 0 è che il denominatore vada a 0 per qualche valore di teta. Ma ciò non avviene quindi il limite è 0.
Immagino però che il prof pretenda la giustificazione di ogni passaggio.
Si! intendevo quello.
La mia è stata una spiegazione compressa, diciamo così.
Ciao
La mia è stata una spiegazione compressa, diciamo così.
Ciao
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