Limite....
E' corretto procedere così?
$lim_(x->0)(arctg^3[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))])/(sinx-tgx)$ forma indeterminata $0/0$
Uso solo limiti fondamentali, Hopital, ordine infinitesimi. Non devo usare Taylor (che non conosco!)
Al numeratore diviene
$[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1)]^3$ (limite notevole)
Al denominatore
$sinx-x$ (limite notevole)
quindi $lim_(x->0)[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))]^(3)/(sinx-x)$
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sinsqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$ sostituendo $sinx-x$ con l'ordine di infinitesimo.
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$
Se è corretto, come conviene procedere? Altrimenti dov'è l'errore?
Grazie
$lim_(x->0)(arctg^3[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))])/(sinx-tgx)$ forma indeterminata $0/0$
Uso solo limiti fondamentali, Hopital, ordine infinitesimi. Non devo usare Taylor (che non conosco!)
Al numeratore diviene
$[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1)]^3$ (limite notevole)
Al denominatore
$sinx-x$ (limite notevole)
quindi $lim_(x->0)[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))]^(3)/(sinx-x)$
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sinsqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$ sostituendo $sinx-x$ con l'ordine di infinitesimo.
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$
Se è corretto, come conviene procedere? Altrimenti dov'è l'errore?
Grazie
Risposte
Puoi anche notare che [tex]$\log{(1+\sqrt{x})} \sim \sqrt{x}$[/tex], quindi [tex]$(\log{(1+\sqrt{x})}-\sin{\sqrt{x}})^3 \sim -(\sin{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^3 \sim \frac{x^{\frac{9}{2}}}{6}$[/tex].
Ho letto un po' velocemente quel che hai fatto, ma mi sembra corretto. Ti viene [tex]$0$[/tex]?
Ho letto un po' velocemente quel che hai fatto, ma mi sembra corretto. Ti viene [tex]$0$[/tex]?
"Antimius":
Puoi anche notare che [tex]$\log{(1+\sqrt{x})} \sim \sqrt{x}$[/tex], quindi [tex]$(\log{(1+\sqrt{x})}-\sin{\sqrt{x}})^3 \sim -(\sin{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^3 \sim \frac{x^{\frac{9}{2}}}{6}$[/tex].
Ho letto un po' velocemente quel che hai fatto, ma mi sembra corretto. Ti viene [tex]$0$[/tex]?
Mi sembra che tu stia utilizzando un po' troppo sportivamente questi infinitesimi equivalenti.
Effettivamente mi sono scordato un pezzo, ma non saprei come farlo cicciare fuori senza Taylor.
Penso che a quel punto allora (se è corretto ciò che è stato fatto prima) convenga risolvere direttamente il limite [tex]$\lim_{x \to 0} \bigg( \frac{\log(1+\sqrt{x})-\sqrt{x}}{x} \bigg) ^3$[/tex]. Basta risolvere la parte interna, non dovrebbe essere difficile, ad esempio, con De l'Hopital o con qualche limite notevole, ma ora sto troppo dormendo per pensare. XD
Penso che a quel punto allora (se è corretto ciò che è stato fatto prima) convenga risolvere direttamente il limite [tex]$\lim_{x \to 0} \bigg( \frac{\log(1+\sqrt{x})-\sqrt{x}}{x} \bigg) ^3$[/tex]. Basta risolvere la parte interna, non dovrebbe essere difficile, ad esempio, con De l'Hopital o con qualche limite notevole, ma ora sto troppo dormendo per pensare. XD
Il punto è che, quando ci sono di mezzo differenze e somme, bisognerebbe giustificare la liceità di tali passaggi.
L'unico passaggio che mi sembra evidente è $arctan^3 [ log( 1 + sqrt(e^x - 1)) - sin( sqrt( e^x - 1 ) ) ] sim [ log( 1 + sqrt(e^x - 1)) - sin( sqrt( e^x - 1 ) ) ]^3$
L'unico passaggio che mi sembra evidente è $arctan^3 [ log( 1 + sqrt(e^x - 1)) - sin( sqrt( e^x - 1 ) ) ] sim [ log( 1 + sqrt(e^x - 1)) - sin( sqrt( e^x - 1 ) ) ]^3$
Il risultato è $1/4$
Per Seneca: perchè gli altri passaggi non sono leciti?
Per Seneca: perchè gli altri passaggi non sono leciti?
"Seneca":
Il punto è che, quando ci sono di mezzo differenze e somme, bisognerebbe giustificare la liceità di tali passaggi.
Sì, lo so. Ma io avevo utilizzato quelle equivalenze, sfruttando il fatto che [tex]$\lim_{x\to0} \frac{\log(1+\sqrt{x})-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=0$[/tex], cioè [tex]$\log(1+\sqrt{x})=\sqrt{x}+o(\sqrt{x})$[/tex] (e analogamente per il seno). Soltanto che poi trascurando l'o-piccolo non mi ero reso conto che in realtà veniva un [tex]$o(x^{\frac{3}{2}})$[/tex], e avendo a denominatore [tex]$x^3[/tex], non potevo concludere molto.
In ogni caso [tex]$\sin x-\tan x= \tan x(\cos x -1) \sim -\frac{x^3}{2}$[/tex] e anche questo è corretto (a meno di errori di calcolo
)Quindi, si può calcolare il limite [tex]$-2 \lim_{x \to0} \bigg(\frac{\log(1+\sqrt{e^x-1}) - \sin(\sqrt{e^x-1})}{x}\bigg)^3$[/tex], che, se esiste, è uguale al limite cercato.
@vitus: Come ti mostra la mia svista, bisogna andarci molto cauti a sostituire nei limiti. Quando tu sostituisci tra somme e differenze fai quello che ho spiegato su, quindi se ci sono infinitesimi di ordini diversi, potrebbero non quadrare le cose.
Se c'è un prodotto o una frazione invece utilizzi questo fatto:
Se [tex]$f(x) \sim m(x)$[/tex] e [tex]$g(x) \sim n(x)$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex] e se esiste il limite [tex]$\lim_{x\to x_0}\frac{m(x)}{n(x)}$[/tex], allora
[tex]$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{m(x)}\frac{n(x)}{(g(x)}\frac{m(x)}{n(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{m(x)}{n(x)}$[/tex].
"Antimius":
In ogni caso [tex]$\sin x-\tan x= \tan x(\cos x -1) \sim -\frac{x^3}{2}$[/tex] e anche questo è corretto (a meno di errori di calcolo
Quindi, si può calcolare il limite [tex]$-2 \lim_{x \to0} \bigg(\frac{\log(1+\sqrt{e^x-1}) - \sin(\sqrt{e^x-1})}{x}\bigg)^3$[/tex], che, se esiste, è uguale al limite cercato.
Siamo d'accordo.
Per sbrogliare la situazione mi è venuta in mente questa sostituzione:
$sqrt( e^x - 1 ) = z$
$x = ln( 1 + z^2 )$.
Il limite quindi diventa una cosa banale del tipo:
$-2 [ \lim_{z \to 0} (log(1+ z) - sin(z))/ln( 1 + z^2) ]^3$
O, ancora meglio:
$-2 [ \lim_{z \to 0} (log(1+ z) - sin(z))/z^2 ]^3$
"vitus":
Il risultato è $1/4$
Per Seneca: perchè gli altri passaggi non sono leciti?
I passaggi sono leciti se li sai giustificare adeguatamente. Finché non esprimi una spiegazione ragionevole perché, sostituendo un infinitesimo equivalente in un limite, il risultato non dovrebbe cambiare, non posso non sollevare obiezioni.
Se la pensi in questi termini vedrai che, a meno di errori di calcolo e distrazioni, avrai un maggior successo nella risoluzione dei limiti più rognosi.
Il limite, così come l'ho svolto, viene effettivamente $1/4$. Il problema è che (è la prima volta che lo uso) Wolphram mi contraddice:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28ln%28+1+%2B+sqrt%28+exp%28x%29+-+1+%29+%29+-+sin%28sqrt%28+exp%28x%29+-+1+%29%29%29%2F%28sin%28x%29+-+tg%28x%29%29+as+x-%3E0%2B
Qualcuno mi spiega il perché?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28ln%28+1+%2B+sqrt%28+exp%28x%29+-+1+%29+%29+-+sin%28sqrt%28+exp%28x%29+-+1+%29%29%29%2F%28sin%28x%29+-+tg%28x%29%29+as+x-%3E0%2B
Qualcuno mi spiega il perché?
"Seneca":
Il limite, così come l'ho svolto, viene effettivamente $1/4$. Il problema è che (è la prima volta che lo uso) Wolphram mi contraddice:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28ln%28+1+%2B+sqrt%28+exp%28x%29+-+1+%29+%29+-+sin%28sqrt%28+exp%28x%29+-+1+%29%29%29%2F%28sin%28x%29+-+tg%28x%29%29+as+x-%3E0%2B
Qualcuno mi spiega il perché?
Il numeratore andrebbe elevato a 3.
[Edit]: Mi sono dimenticato di quotare
mmmm..
non hai messo l'arcotangente al numeratore?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 9%29%29%29^3%2F%28sin%28x%29+-+tg%28x%29%29+as+x-%3E0%2B
ecco il link corretto. EDIT: il link non si evidenzia tutto da solo. se vuoi provarlo devi evidenziarlo tu e fare il copia incolla.
Ricordo che $tan^(-1)$ in questo caso è l'arcotangente e non la cotangent
non hai messo l'arcotangente al numeratore?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 9%29%29%29^3%2F%28sin%28x%29+-+tg%28x%29%29+as+x-%3E0%2B
ecco il link corretto. EDIT: il link non si evidenzia tutto da solo. se vuoi provarlo devi evidenziarlo tu e fare il copia incolla.
Ricordo che $tan^(-1)$ in questo caso è l'arcotangente e non la cotangent
No, no; non c'entra l'arcotangente. Il problema è che mi ero dimenticato di elevare il numeratore alla terza.
Grazie.
Grazie.
se guardi il link che ti ho postato c'è tutto, sia arcTan che numeratore alla terza 
"kevinpirola":
se guardi il link che ti ho postato c'è tutto, sia arcTan che numeratore alla terza
Sì, ho visto. Ma l'arcotangente non era il problema. In questo caso si può approssimare all'argomento, quindi:
$arctan^3(f(x)) sim [ f(x) ]^3
si, ovvio avevo dato per scontato che dimenticandosi acrtan automaticamente ci si dimenticava anche le sue parentesi e il relativo elevamento.
avevo dato per scontato che dimenticandosi acrtan automaticamente ci si dimenticava anche le sue parentesi e il relativo elevamento.
Grazie a tutti per le illuminanti delucidazioni, in particolar a Seneca.
Dunque, in somme/differenze, è possibile sostituire gli infinitesimi solo se sono dello stesso ordine?
Ho capito bene?
Sempre nella risoluzione dei limiti con somme (differenze) o prodotti (rapporti) di funzioni, è possibile sostituire alcune funzioni con gli infinitesimi/infiniti e applicare ad altre i limiti fondamentali, a seconda dei casi e della convenienza, oppure si deve o solo ricorrere ai limiti fondamentali o agli infinitesimi/infiniti?
Peto venia per la banalità delle domande.
Dunque, in somme/differenze, è possibile sostituire gli infinitesimi solo se sono dello stesso ordine?
Ho capito bene?
Sempre nella risoluzione dei limiti con somme (differenze) o prodotti (rapporti) di funzioni, è possibile sostituire alcune funzioni con gli infinitesimi/infiniti e applicare ad altre i limiti fondamentali, a seconda dei casi e della convenienza, oppure si deve o solo ricorrere ai limiti fondamentali o agli infinitesimi/infiniti?
Peto venia per la banalità delle domande.
"vitus":
Grazie a tutti per le illuminanti delucidazioni, in particolar a Seneca.
Dunque, in somme/differenze, è possibile sostituire gli infinitesimi solo se sono dello stesso ordine?
Ho capito bene?
Siano $f, g, D$ infinitesimi per $x -> x_0$.
$lim_(x -> x_0 ) ( f(x) - g(x) )/( D(x) )$
Supponiamo che $f(x) sim bar (f) (x)$ e che $g(x) sim bar (g) (x)$
Ci chiediamo se $lim_(x -> x_0 ) ( f(x) - g(x) )/( D(x) ) = lim_(x -> x_0 ) ( bar (f) (x) - bar (g) (x) )/( D(x) )$ .
$f(x) sim bar (f) (x) hArr lim_(x -> x_0) (f(x))/(bar(f) (x)) = 1$ (per def. di infinitesimo equivalente)
$lim_(x -> x_0 ) ( f(x) - g(x) )/( D(x) ) = lim_(x -> x_0 ) ( (f(x))/(bar(f)(x)) * bar(f)(x) - (g(x))/(bar(g)(x)) * bar(g)(x))/( D(x) )$
E da questa non puoi concludere in generale che $ lim_(x -> x_0 ) ( bar (f) (x) - bar (g) (x) )/( D(x) )$ (proprio perché non puoi mandare al limite solo alcuni pezzi della funzione).
________
Invece, se tu dovessi calcolare solamente, nelle stesse ipotesi di prima, $lim_(x -> x_0) (f(x))/(D(x))$, potresti scrivere:
$lim_(x -> x_0) (f(x))/(D(x)) = lim_(x -> x_0) (f(x))/(bar(f) (x)) * (bar(f) (x))/(D(x))$
Poiché $f(x) sim bar (f) (x)$ , avresti che $(f(x))/(bar(f) (x)) -> 1$ e per i teoremi sui limiti concluderesti che :
$lim_(x -> x_0) (f(x))/(bar(f) (x)) * (bar(f) (x))/(D(x)) = lim_(x -> x_0) (bar(f) (x))/(D(x))$
Ho scritto velocemente, spero si capisca qualcosa...
Omg, mi sono distratto per qualche oretta e avete riempito il topic
Comunque, per prodotti e frazioni va bene la regola che ti ho scritto prima. Per quanto riguarda somme e differenze, devi stare attento. Io solitamente utilizzo gli o-piccoli per non confondermi (infatti prima non li ho usati e ho sbagliato)
Quindi ad esempio potresti aver anche scritto [tex]$\sin x-\tan x=o(x)$[/tex], ma poi avresti dovuto vedere se ti sarebbe stato utile, perché se al numeratore avessi avuto ad esempio [tex]$x^2$[/tex] non avresti potuto concludere nulla.
Comunque, può aiutarti anche il seguente fatto notevole (per ordini di infinitesimo diverso).
Sia [tex]$f(x)=o(m(x))$[/tex], [tex]$g(x)=o(n(x))$[/tex]. Se esiste il limite [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{m(x)}{n(x)}$[/tex], allora:
[tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{m(x)+f(x)}{n(x)+g(x)}=\lim_{x \to x_0} \frac{m(x)(1+\frac{f(x)}{m(x)})}{n(x)(1+\frac{g(x)}{n(x)})}=\lim_{x \to x_0} \frac{m(x)}{n(x)}$[/tex]
(Mi sembra si chiami principio di sostituzione degli infinitesimi)
Comunque, per prodotti e frazioni va bene la regola che ti ho scritto prima. Per quanto riguarda somme e differenze, devi stare attento. Io solitamente utilizzo gli o-piccoli per non confondermi (infatti prima non li ho usati e ho sbagliato
)Quindi ad esempio potresti aver anche scritto [tex]$\sin x-\tan x=o(x)$[/tex], ma poi avresti dovuto vedere se ti sarebbe stato utile, perché se al numeratore avessi avuto ad esempio [tex]$x^2$[/tex] non avresti potuto concludere nulla.
Comunque, può aiutarti anche il seguente fatto notevole (per ordini di infinitesimo diverso).
Sia [tex]$f(x)=o(m(x))$[/tex], [tex]$g(x)=o(n(x))$[/tex]. Se esiste il limite [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{m(x)}{n(x)}$[/tex], allora:
[tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{m(x)+f(x)}{n(x)+g(x)}=\lim_{x \to x_0} \frac{m(x)(1+\frac{f(x)}{m(x)})}{n(x)(1+\frac{g(x)}{n(x)})}=\lim_{x \to x_0} \frac{m(x)}{n(x)}$[/tex]
(Mi sembra si chiami principio di sostituzione degli infinitesimi)
$lim_(x -> x_0 ) ( f(x) - g(x) )/( D(x) ) = lim_(x -> x_0 ) ( (f(x))/(bar(f)(x)) * bar(f)(x) - (g(x))/(bar(g)(x)) * bar(g)(x))/( D(x) )$
E da questa non puoi concludere in generale che $ lim_(x -> x_0 ) ( bar (f) (x) - bar (g) (x) )/( D(x) )$ (proprio perché non puoi mandare al limite solo alcuni pezzi della funzione).
I "pezzi" sarebbero il numeratore?
E da questa non puoi concludere in generale che $ lim_(x -> x_0 ) ( bar (f) (x) - bar (g) (x) )/( D(x) )$ (proprio perché non puoi mandare al limite solo alcuni pezzi della funzione).
I "pezzi" sarebbero il numeratore?
"vitus":
$lim_(x -> x_0 ) ( f(x) - g(x) )/( D(x) ) = lim_(x -> x_0 ) ( (f(x))/(bar(f)(x)) * bar(f)(x) - (g(x))/(bar(g)(x)) * bar(g)(x))/( D(x) )$
E da questa non puoi concludere in generale che $ lim_(x -> x_0 ) ( bar (f) (x) - bar (g) (x) )/( D(x) )$ (proprio perché non puoi mandare al limite solo alcuni pezzi della funzione).
I "pezzi" sarebbero il numeratore?
I pezzi sarebbero $(f(x))/(bar(f)(x)) -> 1$ e $(g(x))/(bar(g)(x)) -> 1$
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