Limite....

geovito
E' corretto procedere così?
$lim_(x->0)(arctg^3[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))])/(sinx-tgx)$ forma indeterminata $0/0$
Uso solo limiti fondamentali, Hopital, ordine infinitesimi. Non devo usare Taylor (che non conosco!)

Al numeratore diviene
$[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1)]^3$ (limite notevole)
Al denominatore
$sinx-x$ (limite notevole)

quindi $lim_(x->0)[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))]^(3)/(sinx-x)$
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sinsqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$ sostituendo $sinx-x$ con l'ordine di infinitesimo.
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$
Se è corretto, come conviene procedere? Altrimenti dov'è l'errore?
Grazie

Risposte
kevinpirola
ma $sinx - tanx$ non è un $o(x^3)$?

Antimius
Se consideri il limite [tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x}=0$[/tex] ne deduci che è [tex]$o(x)$[/tex].
(Editato -.- No comment please)

Seneca1
"Antimius":
Certamente.


Come? Non è $o(x^3)$. :lol:

kevinpirola
argh, non l'ho capita questa....

scusami puoi spiegarmelo bene?

nel senso so che $\lim_{x->0} (sin x - tg x)/(x^3) = -1/2$ quindi limite finito e diverso da zero vuol dire che sinx-tgx è un o(x^3).
se io faccio il limite che hai detto tu viene 0 quindi so solo che sinx-tgx >i o(x) .... no? (>i = infinitesimo maggiore)

Seneca1
"kevinpirola":
argh, non l'ho capita questa....

scusami puoi spiegarmelo bene?

nel senso so che $\lim_{x->0} (sin x - tg x)/(x^3) = -1/2$ quindi limite finito e diverso da zero vuol dire che sinx-tgx è un o(x^3).
se io faccio il limite che hai detto tu viene 0 quindi so solo che sinx-tgx >i o(x) .... no? (>i = infinitesimo maggiore)


Non ho capito bene dove vuoi andare a parare, ma ti assicuro che $sin(x) - tan(x)$ non è un $o(x^3)$, proprio perché:

$\lim_(x->0) (sin(x) - tan(x))/(x^3) = -1/2$

Antimius
No infatti, sarebbe [tex]$\frac{-x^3}{2}+o(x^3)$[/tex]. Ok, dopo questo fail posso anche ritirarmi -.-'
Dovrei avere qualcuno che mi blocca dal rispondere troppo in fretta, faccio sempre errori idioti in questo modo lol

kevinpirola
"Seneca":
[quote="kevinpirola"]argh, non l'ho capita questa....

scusami puoi spiegarmelo bene?

nel senso so che $\lim_{x->0} (sin x - tg x)/(x^3) = -1/2$ quindi limite finito e diverso da zero vuol dire che sinx-tgx è un o(x^3).
se io faccio il limite che hai detto tu viene 0 quindi so solo che sinx-tgx >i o(x) .... no? (>i = infinitesimo maggiore)


Non ho capito bene dove vuoi andare a parare, ma ti assicuro che $sin(x) - tan(x)$ non è un $o(x^3)$, proprio perché:

$\lim_(x->0) (sin(x) - tan(x))/(x^3) = -1/2$[/quote]

non sto andando a parare, sto cercando di capire cosa è giusto, difatti la mia era una domanda... ora...

possiamo dire che $(sin x - tg x) ~ x^3$ ?

sennò vuol dire che non ho capito na cippa....:D

Antimius
Se intendevi dire [tex]$\sim$[/tex] (asintotica equivalenza), allora si ha che [tex]$f(x) \sim g(x)$[/tex] per [tex]$x \to x_0$[/tex] se [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$[/tex] (che è più forte di dire semplicemente che le due funzioni hanno uguale ordine di infinitesimo/infinito, quando sono infinitesimi/infiniti).
Perciò [tex]$\sin x - \tan x \sim -\frac{x^3}{2}$[/tex].
Invece [tex]$f(x)=o(g(x))$[/tex] per [tex]$x \to x_0$[/tex] vuol dire che [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$[/tex].

(Ok, lo ammetto, sto tentando disperatamente di rifarmi, dopo le boiate che ho sparato fra ieri sera e stamattina :-D)

kevinpirola
ok, se adesso quello che hai scritto è giusto (LOL), mi è chiaro.

Asintoticità -> limite = 1

o(g(x)) -> limite = 0

limite = L !=0 (diverso da 0) -> stesso ordine. non necessariamenete (se L non è = 1) asintotico a ...


Grazie...

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