Limite....
E' corretto procedere così?
$lim_(x->0)(arctg^3[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))])/(sinx-tgx)$ forma indeterminata $0/0$
Uso solo limiti fondamentali, Hopital, ordine infinitesimi. Non devo usare Taylor (che non conosco!)
Al numeratore diviene
$[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1)]^3$ (limite notevole)
Al denominatore
$sinx-x$ (limite notevole)
quindi $lim_(x->0)[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))]^(3)/(sinx-x)$
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sinsqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$ sostituendo $sinx-x$ con l'ordine di infinitesimo.
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$
Se è corretto, come conviene procedere? Altrimenti dov'è l'errore?
Grazie
$lim_(x->0)(arctg^3[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))])/(sinx-tgx)$ forma indeterminata $0/0$
Uso solo limiti fondamentali, Hopital, ordine infinitesimi. Non devo usare Taylor (che non conosco!)
Al numeratore diviene
$[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1)]^3$ (limite notevole)
Al denominatore
$sinx-x$ (limite notevole)
quindi $lim_(x->0)[log(1+sqrt(e^(x)-1))-sin(sqrt(e^(x)-1))]^(3)/(sinx-x)$
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sinsqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$ sostituendo $sinx-x$ con l'ordine di infinitesimo.
$lim_(x->0)[log(1+sqrt(x))-sqrt(x)]^(3)/(-x^(3)/6)$
Se è corretto, come conviene procedere? Altrimenti dov'è l'errore?
Grazie
Risposte
ma $sinx - tanx$ non è un $o(x^3)$?
Se consideri il limite [tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x}=0$[/tex] ne deduci che è [tex]$o(x)$[/tex].
(Editato -.- No comment please)
(Editato -.- No comment please)
"Antimius":
Certamente.
Come? Non è $o(x^3)$.
argh, non l'ho capita questa....
scusami puoi spiegarmelo bene?
nel senso so che $\lim_{x->0} (sin x - tg x)/(x^3) = -1/2$ quindi limite finito e diverso da zero vuol dire che sinx-tgx è un o(x^3).
se io faccio il limite che hai detto tu viene 0 quindi so solo che sinx-tgx >i o(x) .... no? (>i = infinitesimo maggiore)
scusami puoi spiegarmelo bene?
nel senso so che $\lim_{x->0} (sin x - tg x)/(x^3) = -1/2$ quindi limite finito e diverso da zero vuol dire che sinx-tgx è un o(x^3).
se io faccio il limite che hai detto tu viene 0 quindi so solo che sinx-tgx >i o(x) .... no? (>i = infinitesimo maggiore)
"kevinpirola":
argh, non l'ho capita questa....
scusami puoi spiegarmelo bene?
nel senso so che $\lim_{x->0} (sin x - tg x)/(x^3) = -1/2$ quindi limite finito e diverso da zero vuol dire che sinx-tgx è un o(x^3).
se io faccio il limite che hai detto tu viene 0 quindi so solo che sinx-tgx >i o(x) .... no? (>i = infinitesimo maggiore)
Non ho capito bene dove vuoi andare a parare, ma ti assicuro che $sin(x) - tan(x)$ non è un $o(x^3)$, proprio perché:
$\lim_(x->0) (sin(x) - tan(x))/(x^3) = -1/2$
No infatti, sarebbe [tex]$\frac{-x^3}{2}+o(x^3)$[/tex]. Ok, dopo questo fail posso anche ritirarmi -.-'
Dovrei avere qualcuno che mi blocca dal rispondere troppo in fretta, faccio sempre errori idioti in questo modo lol
Dovrei avere qualcuno che mi blocca dal rispondere troppo in fretta, faccio sempre errori idioti in questo modo lol
"Seneca":
[quote="kevinpirola"]argh, non l'ho capita questa....
scusami puoi spiegarmelo bene?
nel senso so che $\lim_{x->0} (sin x - tg x)/(x^3) = -1/2$ quindi limite finito e diverso da zero vuol dire che sinx-tgx è un o(x^3).
se io faccio il limite che hai detto tu viene 0 quindi so solo che sinx-tgx >i o(x) .... no? (>i = infinitesimo maggiore)
Non ho capito bene dove vuoi andare a parare, ma ti assicuro che $sin(x) - tan(x)$ non è un $o(x^3)$, proprio perché:
$\lim_(x->0) (sin(x) - tan(x))/(x^3) = -1/2$[/quote]
non sto andando a parare, sto cercando di capire cosa è giusto, difatti la mia era una domanda... ora...
possiamo dire che $(sin x - tg x) ~ x^3$ ?
sennò vuol dire che non ho capito na cippa....
Se intendevi dire [tex]$\sim$[/tex] (asintotica equivalenza), allora si ha che [tex]$f(x) \sim g(x)$[/tex] per [tex]$x \to x_0$[/tex] se [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$[/tex] (che è più forte di dire semplicemente che le due funzioni hanno uguale ordine di infinitesimo/infinito, quando sono infinitesimi/infiniti).
Perciò [tex]$\sin x - \tan x \sim -\frac{x^3}{2}$[/tex].
Invece [tex]$f(x)=o(g(x))$[/tex] per [tex]$x \to x_0$[/tex] vuol dire che [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$[/tex].
(Ok, lo ammetto, sto tentando disperatamente di rifarmi, dopo le boiate che ho sparato fra ieri sera e stamattina
)
Perciò [tex]$\sin x - \tan x \sim -\frac{x^3}{2}$[/tex].
Invece [tex]$f(x)=o(g(x))$[/tex] per [tex]$x \to x_0$[/tex] vuol dire che [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$[/tex].
(Ok, lo ammetto, sto tentando disperatamente di rifarmi, dopo le boiate che ho sparato fra ieri sera e stamattina
)
ok, se adesso quello che hai scritto è giusto (LOL), mi è chiaro.
Asintoticità -> limite = 1
o(g(x)) -> limite = 0
limite = L !=0 (diverso da 0) -> stesso ordine. non necessariamenete (se L non è = 1) asintotico a ...
Grazie...
Asintoticità -> limite = 1
o(g(x)) -> limite = 0
limite = L !=0 (diverso da 0) -> stesso ordine. non necessariamenete (se L non è = 1) asintotico a ...
Grazie...
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