Limite

[dotmanu]

$ lim_(x->0)xlogx $

ho provato a risolverlo ma arrivo sempre a una forma indeterminata... anche sostituendo $ y=logx $...
Potete darmi qualche indicazione?

Grazie

[K.Lomax]

La cosa più semplice è "trasformare" in una forma indeterminata [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] e applicare De l'Hopital.

[Gi81]

"K.Lomax":La cosa più semplice è "trasformare" in una forma indeterminata [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] e applicare De l'Hopital.

e per farlo basta notare che puoi scrivere $x= 1/(1/x)$

[emmeffe90]

Io invece userei il confronto tra infinitesimi

[Rinhos]

giusto una pignoleria:

in realtà quel limite che hai scritto non ha senso perché logx non è definito in un intorno sinistro di 0. Avresti dovuto scrivere:

$ lim_(x->0^(+))(xlogx)$

[dotmanu]

sisi, intendevo $x->0^+$

allora con De l'Hopital dovrebbe venire:
$ lim_(x->0^+)(logx/(1/x))=lim_(x->0^+)((1/x)/(-1/x^2))=lim_(x->0^+)(-1/x*(x^2/1))=lim_(x->0^+)(-x)=0^- $

usando invece il confronto tra infinitesimi, come avreste ragionato?

grazie

[emmeffe90]

"dotmanu":usando invece il confronto tra infinitesimi, come avreste ragionato?

Sappiamo che x tende a zero più velocemente di quanto $logx$ tenda a $-oo$.
Perciò il risultato è $0^-$, visto che si tratta del prodotto tra una quantità positiva ($0^+$) e una quantità negativa ($-oo$)

[dissonance]

"emmeffe90":Sappiamo che x tende a zero più velocemente di quanto $logx$ tenda a $-oo$.

Verissimo. Ma questo cosa significa, in formule? Significa che $lim_{x\to0^+}x logx=0$, ovvero proprio quello che stiamo cercando di dimostrare!

[dotmanu]

Sappiamo che $x$ tende a zero più velocemente di quanto $logx$ tenda a $-oo$

così non stiamo confrontando infiniti con infinitesimi? Io ho sempre solo confrontato infiniti con infiniti e infinitesi mi con infinitesimi...

@dissonance
dunque come suggerisci di procedere?

[emmeffe90]

"dotmanu":così non stiamo confrontando infiniti con infinitesimi? Io ho sempre solo confrontato infiniti con infiniti e infinitesi mi con infinitesimi...

Se vuoi, puoi anche vederla così: $xlogx=logx/(1/x)$. In questo modo ti ritrovi con due infiniti e puoi procedere come hai sempre fatto

[dotmanu]

ok grazie... siccome per me però è sempre un problema capire chi prevale su chi, potreste darmi qualche suggerimento su come ragionare?

grazie

[Danying]

"emmeffe90":
Se vuoi, puoi anche vederla così: $xlogx=logx/(1/x)$. In questo modo ti ritrovi con due infiniti e puoi procedere come hai sempre fatto

Per non aprire un altro topic...

Secondo il testo di analisi che uso io si può anche vederla così $-> xlogx= (-log(1/x))/(1/x)$

con un altra via di soluzione... con l'ausilio di infiniti e di un limite notevole.

Posto $t=1/x$, con $lim_(x->0^+)t= +infty$ e quindi per il limite noto $lim_(x->+infty) (logt)/(t)=0$

Ma la cosa che non capisco... è da dove esce fuori... e perchè $-log(1/x)/(1/x)$
passaggi algebrici che non mi tornano... xD

[Gi81]

Il fatto è che $log(x)$= $log[((x)^-1)^-1] = log[(1/x)^-1]$ da cui puoi "portare fuori" il $-1$ secondo le propreità dei logaritmi, ottenendo $-log(1/x)$

Per cui $log(x)=-log(1/x)$

Inoltre, questo si vede facilmente, $x= 1/(1/x)$

[Danying]

"Gi8":Il fatto è che $log(x)$= $log[((x)^-1)^-1] = log[(1/x)^-1]$ da cui puoi "portare fuori" il $-1$ secondo le propreità dei logaritmi, ottenendo $-log(1/x)$

Per cui $log(x)=-log(1/x)$

Inoltre, questo si vede facilmente, $x= 1/(1/x)$

Capito

grazie Gi8 , anche se non è il massimo dell'italiano iniziare "Il fatto è che " XD

non è una critica... e a scopo introduttivo... chi vuole appprendere può dire il fatto è CHe . si ma quale fatto per quale motivo è così $log(x)$= $log[((x)^-1)^-1] $?de che se parla?

[Gi81]

Hai ragione... Proverò a sforzarmi per scrivere sempre nel modo più comprensibile possibile. Hai fatto bene a dirmelo

Semplicemente volevo farti notare che $AAx ne 0$ , $x=(x^-1)^-1$, da cui si ricava quello che ho scritto prima. Ok?

[Danying]

"Gi8":Hai ragione... Proverò a sforzarmi per scrivere sempre nel modo più comprensibile possibile. Hai fatto bene a dirmelo

Semplicemente volevo farti notare che $AAx ne 0$ , $x=(x^-1)^-1$, da cui si ricava quello che ho scritto prima. Ok?

hihih

Figurati!!!!

cmq era detta in maniera sarcastica ........ con tutti sti trucchetti dei logaritmi sto andando in panico XD!