Limite
Salve,
stavo cercando di risolvere questo limite all'infinito:
$( n! (4n)! ) / ( (2n)! (3n)! ) $
Usando il criterio del rapporto mi ritrovo con $4/6$, che è $< 1$, quindi il limite dovrebbe tendere a $0$, ma probabilmente sto sbagliando qualcosa, dato che nelle soluzioni il limite tende a infinito.
Spero mi possiate aiutare, grazie!
stavo cercando di risolvere questo limite all'infinito:
$( n! (4n)! ) / ( (2n)! (3n)! ) $
Usando il criterio del rapporto mi ritrovo con $4/6$, che è $< 1$, quindi il limite dovrebbe tendere a $0$, ma probabilmente sto sbagliando qualcosa, dato che nelle soluzioni il limite tende a infinito.
Spero mi possiate aiutare, grazie!
Risposte
Io proverei così.
Innanzitutto semplificherei $(n!)/((2n)!)=1/((2n)*(2n-1)*\ldots*(n+1))$ e $((4n)!)/((3n)!)=(4n)*(4n-1)*\ldots *(3n+1)$, così da avere:
$(n! (4n)!)/((2n)! (3n)!)=((4n)*(4n-1)*\ldots *(3n+1))/((2n)*(2n-1)*\ldots*(n+1)) = (4n)/(2n)*(4n-1)/(2n-1)*\ldots *(3n+1)/(n+1)\quad$;
visto che aumentando i denominatori le frazioni al terzo membro diminuiscono, sostituisco ogni denominatore $2n-1, \ldots ,n+1$ con $2n$ ed ottengo:
$(n! (4n)!)/((2n)! (3n)!) >=(4n)/(2n)*(4n-1)/(2n)*\ldots *(3n+1)/(2n)\quad$;
visto che le frazioni a secondo membro diminuiscono se diminuisco i loro numeratori, sostituisco ogni numeratore $4n, 4n-1,\ldots ,3n+2$ con $3n+1$ ed ottengo:
$(n! (4n)!)/((2n)! (3n)!) >=(3n+1)/(2n)*(3n+1)/(2n)*\ldots *(3n+1)/(2n)=((3n+1)/(2n))^n\quad$;
l'ultimo membro della precedente si scrive:
$((3n+1)/(2n))^n=(1+(n+1)/(2n))^n=[(1+(n+1)/(2n))^((2n)/(n+1))]^((n+1)/2)$
cosicché, passando al limite, è facile constatare che:
$lim_(n\to +oo)((3n+1)/(2n))^n=lim_(n\to +oo)[(1+(n+1)/(2n))^((2n)/(n+1))]^((n+1)/2)=e^(+oo)=+oo \quad$.
Per il teorema del confronto si ha dunque:
$lim_(n \to +oo) (n! (4n)!)/((2n)! (3n)!) >= lim_(n\to +oo)((3n+1)/(2n))^n$
e la successione di termine generale $(n! (4n)!)/((2n)! (3n)!)$ diverge.
Innanzitutto semplificherei $(n!)/((2n)!)=1/((2n)*(2n-1)*\ldots*(n+1))$ e $((4n)!)/((3n)!)=(4n)*(4n-1)*\ldots *(3n+1)$, così da avere:
$(n! (4n)!)/((2n)! (3n)!)=((4n)*(4n-1)*\ldots *(3n+1))/((2n)*(2n-1)*\ldots*(n+1)) = (4n)/(2n)*(4n-1)/(2n-1)*\ldots *(3n+1)/(n+1)\quad$;
visto che aumentando i denominatori le frazioni al terzo membro diminuiscono, sostituisco ogni denominatore $2n-1, \ldots ,n+1$ con $2n$ ed ottengo:
$(n! (4n)!)/((2n)! (3n)!) >=(4n)/(2n)*(4n-1)/(2n)*\ldots *(3n+1)/(2n)\quad$;
visto che le frazioni a secondo membro diminuiscono se diminuisco i loro numeratori, sostituisco ogni numeratore $4n, 4n-1,\ldots ,3n+2$ con $3n+1$ ed ottengo:
$(n! (4n)!)/((2n)! (3n)!) >=(3n+1)/(2n)*(3n+1)/(2n)*\ldots *(3n+1)/(2n)=((3n+1)/(2n))^n\quad$;
l'ultimo membro della precedente si scrive:
$((3n+1)/(2n))^n=(1+(n+1)/(2n))^n=[(1+(n+1)/(2n))^((2n)/(n+1))]^((n+1)/2)$
cosicché, passando al limite, è facile constatare che:
$lim_(n\to +oo)((3n+1)/(2n))^n=lim_(n\to +oo)[(1+(n+1)/(2n))^((2n)/(n+1))]^((n+1)/2)=e^(+oo)=+oo \quad$.
Per il teorema del confronto si ha dunque:
$lim_(n \to +oo) (n! (4n)!)/((2n)! (3n)!) >= lim_(n\to +oo)((3n+1)/(2n))^n$
e la successione di termine generale $(n! (4n)!)/((2n)! (3n)!)$ diverge.
Il criterio del rapporto va bene ma attenzione, quando sostituisci n+1, se hai $(5n)!$ diventa $(5(n+1))!$ e quindi $(5n+5)!$
ho provato a fare il rapporto, e il rapporto tra i termini di grado massimo ($n^5$) viene 64/27.
Ma provare senza metodi meccanici una volta tanto, no? 
Qua basta sfruttare il fatto che i fattoriali si semplificano bene e un po' di nozioni elementari sulle frazioni positive.
Qua basta sfruttare il fatto che i fattoriali si semplificano bene e un po' di nozioni elementari sulle frazioni positive.
se ti riferisci al mio intervento, io che non amo le successioni, l'ho fatto solo per verificare il risultato di 4/6, che non è tornato.
OK figurati, ma mi sembra che con il "metodo meccanico" ci siano giusto due passaggi da fare, un po' più veloce..
E poi nitai108 aveva provato con questo!
E poi nitai108 aveva provato con questo!
"adaBTTLS":
se ti riferisci al mio intervento, io che non amo le successioni, l'ho fatto solo per verificare il risultato di 4/6, che non è tornato.
Nono, dicevo a leena ed a chi ha proposto l'esercizio...
chi ha proposto l'esercizio, in realtà ha chiesto aiuto e voleva una smentita sul suo risultato, almeno credo...
Scusami ma se qualcuno chiede l'aiuto in un esercizio e utilizzando un qualsiasi metodo commette un errore, piuttosto che dargli una strada alternativa io preferisco far capire l'errore dov'era, così una prossima volta, con un qualsiasi metodo, non lo ricommette!
Suscettibili.
Non prenderla come una questione personale.
Solo cerco di far capire a chi fa gli esercizi che, qualche volta, basta davvero poco per risolvere dei problemi e che non sempre c'è bisogno di usare i cannoni.
Ciò è vero anche in casi più complicati: ad esempio, una bellissima dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica in $RR^n$ (uno dei risultati più profondi della Teoria Geometrica della Misura) si basa su un fatto semplicissimo, ossia sulla disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica:
che è un fatto abbastanza elementare.
Il messaggio che voglio far arrivare agli utenti è che per risolvere un esercizio bisogna innanzitutto ragionare con la propria testa su com'è fatto l'esercizio; poi dopo si cerca quale teorema è più appropriato applicare.
Non è che uno prende e risolve tutto con quelle tre/quattro regolette meccaniche che gli insegnano in due mesi di corso di Analisi I.
"leena":
OK figurati, ma mi sembra che con il "metodo meccanico" ci siano giusto due passaggi da fare, un po' più veloce..
E poi nitai108 aveva provato con questo!
Non prenderla come una questione personale.
Solo cerco di far capire a chi fa gli esercizi che, qualche volta, basta davvero poco per risolvere dei problemi e che non sempre c'è bisogno di usare i cannoni.
Ciò è vero anche in casi più complicati: ad esempio, una bellissima dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica in $RR^n$ (uno dei risultati più profondi della Teoria Geometrica della Misura) si basa su un fatto semplicissimo, ossia sulla disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica:
Se $a_1,a_N >=0$ allora $\root(n)(\prod_(i=1)^N a_i) <= 1/N \sum_(i=1)^N a_i$ e l'uguaglianza è verificata se e solo se $a_1=\ldots=a_N$.
che è un fatto abbastanza elementare.
Il messaggio che voglio far arrivare agli utenti è che per risolvere un esercizio bisogna innanzitutto ragionare con la propria testa su com'è fatto l'esercizio; poi dopo si cerca quale teorema è più appropriato applicare.
Non è che uno prende e risolve tutto con quelle tre/quattro regolette meccaniche che gli insegnano in due mesi di corso di Analisi I.
Ma figurati sono d'accordo con te, è solo che non sempre le persone sono interessati a questo. Se viene chiesto esplicitamente un metodo io rispondo con quello e poi magari do anche un'altra idea..
Grazie molto delle risposte, siete veramente molto disponibili e veloci, e apprezzo anche l'approccio del ragionare piuttosto che usare regole fatte, anche se inquesto caso probabilmente usando le regole si faceva un attimo prima, se non avessi sbagliato a fare i conti. Grazie ancora.
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