Limite
Salve a tutti la prof ci ha dato dei limiti da risolvere c' ne uno che inzio ma non so come continuare
$lim(logn!)/(nlogn)$ io avevo continuato cosi $lim((log(n+1)!)/((n+1)log(n+1)))*((nlogn)/(logn!))$
sono quasi convinto che si arriva a $limlog(n/(n+1))^n$
$lim(logn!)/(nlogn)$ io avevo continuato cosi $lim((log(n+1)!)/((n+1)log(n+1)))*((nlogn)/(logn!))$
sono quasi convinto che si arriva a $limlog(n/(n+1))^n$
Risposte
precisa a cosa tende
"f.bisecco":
precisa a cosa tende
n a infinito
Se non erro:
$\lim_{n to oo}(n!)/n^n=oo$
$\lim_{n to oo}(n!)/n^n=oo$
... no, casomai il contrario! così il denominatore è maggiore del numeratore... ciao.
ok grazie...il limite quindi è risolto...
ma il fattoriale non è un infinito di ordine superiore rispetto all'esponenziale?
ma il fattoriale non è un infinito di ordine superiore rispetto all'esponenziale?
di nulla!
n! è un prodotto di n termini, di cui n è il maggiore
n^n è un prodotto di n termini tutti uguali a n
poi, maggiore dell'esponenziale mi pare una cosa "enorme"...
puoi cercare la formula di Stirling che approssima i fattoriali per n grande.
ciao.
n! è un prodotto di n termini, di cui n è il maggiore
n^n è un prodotto di n termini tutti uguali a n
poi, maggiore dell'esponenziale mi pare una cosa "enorme"...
puoi cercare la formula di Stirling che approssima i fattoriali per n grande.
ciao.
Il limite quindi va a $0$
Grazie a adaBTTLS
Grazie a adaBTTLS
"f.bisecco":
Il limite quindi va a $0$
Grazie a adaBTTLS
ma la prof ha detto che il limite è 1
io veramente non l'ho calcolato, ho detto che non poteva essere infinito ed ho lasciato intendere solo che poteva essere zero.
e mi riferivo a quello evidenziato da f.bisecco, non a quello del testo.
scrivo comunque l'approssimazione di Stirling: $n! ~= sqrt(2pi*n)*n^n*e^(-n)$
il limite da trovare è però il rapporto tra i logaritmi, non il logaritmo del rapporto... quindi un po' di cautela è d'obbligo
... se poi pensiamo, non avendo controllato tutti i passaggi, a quello che fed27 prevedeva di ottenere, non vorrei sbagliare ma penso sia $1/e$
insomma, tenete conto di varie osservazioni, e riprovate. ciao.
e mi riferivo a quello evidenziato da f.bisecco, non a quello del testo.
scrivo comunque l'approssimazione di Stirling: $n! ~= sqrt(2pi*n)*n^n*e^(-n)$
il limite da trovare è però il rapporto tra i logaritmi, non il logaritmo del rapporto... quindi un po' di cautela è d'obbligo
... se poi pensiamo, non avendo controllato tutti i passaggi, a quello che fed27 prevedeva di ottenere, non vorrei sbagliare ma penso sia $1/e$
insomma, tenete conto di varie osservazioni, e riprovate. ciao.
applicando Stirling e le proprietà del logaritmo, il limite scritto da f.bisecco viene 0, il limite del testo scritto da fed27 viene effettivamente 1:
con Stirling, $(n!)/(n^n) ~= sqrt(2pi*n)*e^(-n) = (sqrt(2pi*n))/(e^n) ->0$
$(log(n!))/(log(n^n)) ~= (log(sqrt(2pi*n))+log(n^n)+log(e^(-n)))/(log(n^n)) = (log(sqrt(2pi*n)))/(log(n^n)) + (log(n^n))/(log(n^n)) + (log(e^(-n)))/(log(n^n))$
$->0+1+lim_(n->+oo)\((-n)/(n*log(n))) = 0+1+0=1$
spero di non avere scritto sciocchezze.
mi piacerebbe vedere una soluzione senza usare la formula di Stirling. ciao.
con Stirling, $(n!)/(n^n) ~= sqrt(2pi*n)*e^(-n) = (sqrt(2pi*n))/(e^n) ->0$
$(log(n!))/(log(n^n)) ~= (log(sqrt(2pi*n))+log(n^n)+log(e^(-n)))/(log(n^n)) = (log(sqrt(2pi*n)))/(log(n^n)) + (log(n^n))/(log(n^n)) + (log(e^(-n)))/(log(n^n))$
$->0+1+lim_(n->+oo)\((-n)/(n*log(n))) = 0+1+0=1$
spero di non avere scritto sciocchezze.
mi piacerebbe vedere una soluzione senza usare la formula di Stirling. ciao.
"adaBTTLS":
applicando Stirling e le proprietà del logaritmo, il limite scritto da f.bisecco viene 0, il limite del testo scritto da fed27 viene effettivamente 1:
con Stirling, $(n!)/(n^n) ~= sqrt(2pi*n)*e^(-n) = (sqrt(2pi*n))/(e^n) ->0$
$(log(n!))/(log(n^n)) ~= (log(sqrt(2pi*n))+log(n^n)+log(e^(-n)))/(log(n^n)) = (log(sqrt(2pi*n)))/(log(n^n)) + (log(n^n))/(log(n^n)) + (log(e^(-n)))/(log(n^n))$
$->0+1+lim_(n->+oo)\((-n)/(n*log(n))) = 0+1+0=1$
spero di non avere scritto sciocchezze.
mi piacerebbe vedere una soluzione senza usare la formula di Stirling. ciao.
grazie proverò sta sera a trovare un altra soluzione
prego.
perché dicevi che
??
$((n+1)/n)^n=(1+1/n)^n->e$ -> quello che hai scritto tu è il reciproco, dunque tenderebbe a $1/e$ (senza il logaritmo),
con il log, verrebbe -1.
ciao.
perché dicevi che
"fed27":
sono quasi convinto che si arriva a $limlog(n/(n+1))^n$
??
$((n+1)/n)^n=(1+1/n)^n->e$ -> quello che hai scritto tu è il reciproco, dunque tenderebbe a $1/e$ (senza il logaritmo),
con il log, verrebbe -1.
ciao.
"adaBTTLS":
prego.
perché dicevi che
[quote="fed27"]sono quasi convinto che si arriva a $limlog(n/(n+1))^n$
??
$((n+1)/n)^n=(1+1/n)^n->e$ -> quello che hai scritto tu è il reciproco, dunque tenderebbe a $1/e$ (senza il logaritmo),
con il log, verrebbe -1.
ciao.[/quote]
si infatti sbagliavo
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