Limite
ciao a tutti...qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi con questo limite
il problema è che non ho mai fatto trigonometria e per quello che
ho letto non so come comportarmi con il coseno di 1/0
$lim_{x to 5} (x-5) cos (1/(x-5))$
grazie!
il problema è che non ho mai fatto trigonometria e per quello che
ho letto non so come comportarmi con il coseno di 1/0
$lim_{x to 5} (x-5) cos (1/(x-5))$
grazie!
Risposte
Ti dò un suggerimento di carattere generale; per ogni funzione $f$ si ha $0 \le |f(x)cosx|\le |f(x)|$. Basta un colpo di Teorema del confronto per i limiti.
allora se ho ben capito sapendo che
$lim_{x to 5} 0$ è 0
$lim_{x to 5} (x-5)$ è 0
allora
$lim_{x to 5} (x-5) cos (1/(x-5))$ è 0 per il teorema del confronto?
$lim_{x to 5} 0$ è 0
$lim_{x to 5} (x-5)$ è 0
allora
$lim_{x to 5} (x-5) cos (1/(x-5))$ è 0 per il teorema del confronto?
Sì.
Si risolveva subito ponendo $y=x-5$, e osservando
che $y->0$ per $x->5$. Allora si ha:
$lim_(y->0) ycos(1/y)
Chiaramente $|cos(1/y)|<=1 AAy!=0$,
cioè $-1<=cos(1/y)<=1$, cioè
$-y<=ycos(1/y)<=y$, e a questo punto si applica
il Teorema del Confronto.
che $y->0$ per $x->5$. Allora si ha:
$lim_(y->0) ycos(1/y)
Chiaramente $|cos(1/y)|<=1 AAy!=0$,
cioè $-1<=cos(1/y)<=1$, cioè
$-y<=ycos(1/y)<=y$, e a questo punto si applica
il Teorema del Confronto.
Mi pare che sia quello che è stato fatto; sei passato attraverso il Teorema di sostituzione, e forse hai appesantito lo svolgimento. Non era infatti necessario operare la sostituzione, il Teorema del confronto si poteva usare direttamente.
Ho usato la sostituzione perché
così veniva fuori un limite che "apparentemente"
era più "tranquillo" e forse più noto
da calcolare. Forse il semplice fatto che
x tendeva a 5 poteva far sembrare il
limite un po' rognoso...
così veniva fuori un limite che "apparentemente"
era più "tranquillo" e forse più noto
da calcolare. Forse il semplice fatto che
x tendeva a 5 poteva far sembrare il
limite un po' rognoso...
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