Limite

[pavonis1]

Come posso risolvere il limite per x --> 0 di x^x?

[goblyn]

x^x = e^(log(x^x)) = e^(x*log(x))

l'esponente di e^ va a 0 quindi il limite è e^0 = 1

[pavonis1]

Ma se faccio il limite da sinistra la funzione logaritmo non dovrebbe non essere definita?

[goblyn]

sì certo, nemmeno x^x lo è. Il limite è da intendersi da destra. Altrimenti non ha senso.

[pavonis1]

Ma in effetti la funzione risulta non definita solo scrivendola sotto forma esponenziale - logaritmica perchè c'è un logaritmo negativo.
Cmq ad esempio in x=-2: (-2)^(-2) = 1/((-2)^(2))=1/4
la funzione è definita in realtà!

[goblyn]

Sugli interi non c'è problema. Ma per fare il limite devi avere a disposizione un infinità di punti a sx dello zero. E non ce li hai. O meglio non riesci a definire una successione di x(n) appartenenti ad un intorno sx di 0 tali che x(n)^x(n) converga quando x(n)-->0- per n-->inf



Modificato da - goblyn il 26/05/2004 11:20:02

[pavonis1]

Non ho capito molto bene la spiegazione delle successioni.
Questo vuol dire che se disegno il grafico della funzione a sx dello 0 come mi devo comportare?

[Camillo]

Ti devi fermare a x=0+.
Non esiste per x < 0 .

[pavonis1]

Eppure dalla calcolatrice il grafico mi viene disegnato anche a sinistra dello 0! Sono d'accordo che per alcuni valori di x la soluzione è complessa ma non dovrebbero essere disegnati comunque tanti punti discontinui a sinistra di 0?

[goblyn]

può essere che la calcolatrice disegni il modulo o la parte reale della funzione definita sui complessi.

[pavonis1]

Assunto che io voglia unicamente disegnare la parte reale per x<0 non dovrei comunque disegnare dei puntini?

[fireball1]

Sì pavonis, dovresti disegnare dei puntini.
Ecco il grafico di x^x con parte reale e immaginaria:

[pavonis1]

Ok grazie ma quindi in definitiva il limite sinistro per x che tende a 0 si può fare o no?

[Camillo]

Io dico di no : dovresti avere a disposizione, a sinistra dello zero e avvicinandoti ad esso,una infinità di punti in cui la funzione è definita ; il concetto di limite presuppone proprio questo e avere a disposizione solo punti isolati non è "sufficiente".
Infatti la potenza con base ed esponenti variabili si considera solo per valori positivi della base ; il dominio in questi casi vale : x > 0.



Modificato da - camillo il 29/05/2004 12:51:50