Limite

[Giusy1884]

Buongiorno!
Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo limite?

$ lim_(x -> oo ) (e^x*sen(e^-x *senx))/x $

Grazie a tutti!

[Summerwind78]

Ciao

tu fino ad ora come hai provato a risolverlo?

[Giusy1884]

purtroppo non mi sono venute idee!

[Giusy1884]

Una domanda: se riesco a dimostrare che l'argomento del seno principale vale 0 (quindi infinitamente piccolo) posso considerare l'argomento al posto del suo seno, per l'equivalenze asintotiche?
E' corretto tutto cio'?

[pilloeffe]

Ciao Mirtillo_84,

Secondo me è più semplice di quel che sembra, infatti si ha:

$ \lim_{x \to +\infty} (e^x sin(e^{-x} sinx))/x = \lim_{x \to +\infty} (e^x sin(e^{-x} sinx))/(e^{-x} sinx) \cdot (e^{-x} sinx)/x = $
$ = \lim_{x \to +\infty} (sin(e^{-x} sinx))/(e^{-x} sinx) \cdot (sinx)/x = 1 \cdot 0 = 0 $

[Giusy1884]

Ah ok grazie mille!
Solo che anche il primo fattore dell'ultimo limite è 0 e non 1...o no???Altrimenti nn capisco perchè!

Comunque, è corretto dire che: se riusciamo a dimostrare che un qualsiasi argomento di un seno tende a zero allora il nostro seno sara' asintotico al suo argomento, e possiamo direttamente mettere l'argomento al posto del seno nell'esercizio???? Grazie

[pilloeffe]

"Mirtillo_84":Solo che anche il primo fattore dell'ultimo limite è 0 e non 1...o no???

No perché il primo limite è del tipo seguente:

$ \lim_{f(x) \to 0} \frac{sinf(x)}{f(x)} = 1 $

con $f(x) := e^{-x} sin x $, mentre il secondo risulta $0 $.