Limite
Salve a tutti, stavo esercitandomi sui limiti e trovo difficoltà a risolvere questo:
$ lim_(x -> oo ) (x^2e^(-1/x)-(x^3/(x+1))) $
Io avevo pensato di raccogliere con un unico denominatore ma la frazione si complica ancora di più. Qulacuno potrebbe suggerirmi una via più semplice.
Grazie.
$ lim_(x -> oo ) (x^2e^(-1/x)-(x^3/(x+1))) $
Io avevo pensato di raccogliere con un unico denominatore ma la frazione si complica ancora di più. Qulacuno potrebbe suggerirmi una via più semplice.
Grazie.
Risposte
Ciao Dot.who,
Sicuro di aver scritto bene il testo del limite proposto?
Te lo chiedo perché così come è scritto non è difficile verificare che si ha:
$ lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x)-(x^3/x+1)) = -\infty $
Sicuro di aver scritto bene il testo del limite proposto?
Te lo chiedo perché così come è scritto non è difficile verificare che si ha:
$ lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x)-(x^3/x+1)) = -\infty $
Si, hai ragione tu! Avevo sbagliato a ricopiare il testo. Ora l'ho corretto.
Proporrei la soluzione un po' creativa seguente:
$ lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x)- x^3/(x+1)) = lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x)- (x^3 + 1 - 1)/(x+1)) = $
$ = lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x)- (x^3 + 1)/(x+1) + 1/(x + 1)) = lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x) - x^2 + x - 1 + 1/(x + 1)) = $
$ = lim_(x \to +\infty) [x^2(e^(-1/x) - 1) + x - 1 + 1/(x + 1)] = lim_(x \to +\infty) [x^2(- 1/x + 1/(2x^2)) + x - 1 + 1/(x + 1)] = $
$ = lim_(x \to +\infty) [- x + 1/2 + x - 1 + 1/(x + 1)] = lim_(x \to +\infty) [- 1/2 + 1/(x + 1)] = - 1/2 $
ove nello sviluppo di $e^{-1/x} $ sono stati trascurati gli $o$.
$ lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x)- x^3/(x+1)) = lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x)- (x^3 + 1 - 1)/(x+1)) = $
$ = lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x)- (x^3 + 1)/(x+1) + 1/(x + 1)) = lim_(x \to +\infty) (x^2e^(-1/x) - x^2 + x - 1 + 1/(x + 1)) = $
$ = lim_(x \to +\infty) [x^2(e^(-1/x) - 1) + x - 1 + 1/(x + 1)] = lim_(x \to +\infty) [x^2(- 1/x + 1/(2x^2)) + x - 1 + 1/(x + 1)] = $
$ = lim_(x \to +\infty) [- x + 1/2 + x - 1 + 1/(x + 1)] = lim_(x \to +\infty) [- 1/2 + 1/(x + 1)] = - 1/2 $
ove nello sviluppo di $e^{-1/x} $ sono stati trascurati gli $o$.
Grazie mille! Non avevo pensato a scomporre in questo modo.
"Dot.who":
Salve a tutti, stavo esercitandomi sui limiti e trovo difficoltà a risolvere questo:
$ lim_(x -> oo ) (x^2e^(-1/x)-(x^3/(x+1))) $
Io avevo pensato di raccogliere con un unico denominatore ma la frazione si complica ancora di più. Qulacuno potrebbe suggerirmi una via più semplice.
Grazie.
Beh anche come volevi fare tu non è "così" difficile:
$ lim_(x -> oo ) (e^(-1/x)-1/(x+1))/(1/x^2) $
Poi si applica De Hopital un paio di volte.
Ciao Bokonon,
A parte il fatto che è errato il limite come l'hai scritto, perché in realtà è
$ lim_{x \to +\infty} (e^(-1/x)-x/(x+1))/(1/x^2) $
hai provato ad applicare de l'Hôpital un paio di volte come suggerisci? Sconsiglierei decisamente...
"Bokonon":
Beh anche come volevi fare tu non è "così" difficile:
$ lim_{x \to +\infty} (e^(-1/x)-1/(x+1))/(1/x^2) $
Poi si applica De Hopital un paio di volte.
A parte il fatto che è errato il limite come l'hai scritto, perché in realtà è
$ lim_{x \to +\infty} (e^(-1/x)-x/(x+1))/(1/x^2) $
hai provato ad applicare de l'Hôpital un paio di volte come suggerisci? Sconsiglierei decisamente...
"pilloeffe":
Ciao Bokonon,
A parte il fatto che è errato il limite come l'hai scritto, perché in realtà è
$ lim_{x \to +\infty} (e^(-1/x)-x/(x+1))/(1/x^2) $
hai provato ad applicare de l'Hôpital un paio di volte come suggerisci? Sconsiglierei decisamente...
Certo che l'ho fatto. E' noioso ma non difficile.
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