Limite
Salve, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_(x -> 0^+) (x^2*e^(1/sqrt(x))-2x*sin(x^2))/(sinx-sqrt(1+x)*ln(1+x) $
Io pensavo di risolverlo con taylor ma il termine in e risulterebbe avere la radice al denominatore rendendo quindi il criterio inutile...
Come posso risolvere ? Grazie!
$ lim_(x -> 0^+) (x^2*e^(1/sqrt(x))-2x*sin(x^2))/(sinx-sqrt(1+x)*ln(1+x) $
Io pensavo di risolverlo con taylor ma il termine in e risulterebbe avere la radice al denominatore rendendo quindi il criterio inutile...
Come posso risolvere ? Grazie!
Risposte
Ciao Dot.who,
Magari prova ad usare Taylor solo per il denominatore... Il risultato del limite è $-\infty $.
"Dot.who":
Come posso risolvere ?
Magari prova ad usare Taylor solo per il denominatore... Il risultato del limite è $-\infty $.
Sicuro, pilloeffe?
A me sembra più che altro un esercizio trappola. Sembra complicatissimo ma in realtà non c'è nemmeno una forma di indeterminazione. L'unica cosa importante è studiare il segno del denominatore.
A me sembra più che altro un esercizio trappola. Sembra complicatissimo ma in realtà non c'è nemmeno una forma di indeterminazione. L'unica cosa importante è studiare il segno del denominatore.
"pilloeffe":
Ciao Dot.who,
[quote="Dot.who"]Come posso risolvere ?
Magari prova ad usare Taylor solo per il denominatore... Il risultato del limite è $-\infty $.[/quote]
No, il risultato deve essere 16.
Dissonance con quale metodo posso risolvere il limite?
Ciao dissonance,
Su questo sono d'accordo...
Beh, non mi pare: brutalmente, vedo un $\to 0 \cdot (\to +\infty) $ a numeratore e un $\to 0$ a denominatore, poi che magari siano più o meno facilmente risolvibili d'accordo...
Facendo uso degli sviluppi seguenti
$ sin x = x - x^3/{3!} + o(x^3) $
$ ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3) $
$ sqrt{1 + x} = 1 + 1/2 x + o(x^2) $
dopo qualche semplice conto si trova
$ sin x - sqrt{1 + x} ln(1 + x) = -1/2 x^3 + o(x^3) $
Perciò trascurando gli $o$ si ha:
$ lim_{x \to 0^+} frac{x^2 e^(1/sqrt(x)) - 2x sin(x^2)}{sinx-sqrt(1+x) ln(1+x)} = lim_{x \to 0^+} frac{x^2 e^(1/sqrt(x)) - 2x sin(x^2)}{-1/2 x^3} = lim_{x \to 0^+} frac{e^(1/sqrt(x))/x - 2 frac{sin(x^2)}{x^2}}{-1/2} = $
$ = - 2 lim_{x \to 0^+} [e^{frac{1}{sqrt(x)}}/x - 2 frac{sin(x^2)}{x^2}] = - \infty $
dato che il primo termine nella parentesi quadra tende a $+\infty $.
Ora però mi hai messo la curiosità addosso... Tu invece come l'avresti risolto?
"dissonance":
A me sembra più che altro un esercizio trappola.
Su questo sono d'accordo...
"dissonance":
[...] in realtà non c'è nemmeno una forma di indeterminazione.
Beh, non mi pare: brutalmente, vedo un $\to 0 \cdot (\to +\infty) $ a numeratore e un $\to 0$ a denominatore, poi che magari siano più o meno facilmente risolvibili d'accordo...
Facendo uso degli sviluppi seguenti
$ sin x = x - x^3/{3!} + o(x^3) $
$ ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3) $
$ sqrt{1 + x} = 1 + 1/2 x + o(x^2) $
dopo qualche semplice conto si trova
$ sin x - sqrt{1 + x} ln(1 + x) = -1/2 x^3 + o(x^3) $
Perciò trascurando gli $o$ si ha:
$ lim_{x \to 0^+} frac{x^2 e^(1/sqrt(x)) - 2x sin(x^2)}{sinx-sqrt(1+x) ln(1+x)} = lim_{x \to 0^+} frac{x^2 e^(1/sqrt(x)) - 2x sin(x^2)}{-1/2 x^3} = lim_{x \to 0^+} frac{e^(1/sqrt(x))/x - 2 frac{sin(x^2)}{x^2}}{-1/2} = $
$ = - 2 lim_{x \to 0^+} [e^{frac{1}{sqrt(x)}}/x - 2 frac{sin(x^2)}{x^2}] = - \infty $
dato che il primo termine nella parentesi quadra tende a $+\infty $.
Ora però mi hai messo la curiosità addosso...
Tu invece come l'avresti risolto?
Giustissimo.
Dicevo che non c'è forma di indeterminazione perché al numeratore c'è un infinito di ordine esponenziale contro \(2x\sin(x^2)\), quindi il numeratore tende a \(+\infty\), mentre il denominatore tende a zero. Quindi dipende dal segno del denominatore se il risultato è \(\pm\infty\) oppure che il limite non esiste, in effetti un po' di indeterminazione c'è, nel senso che un po' di lavoro bisogna farlo.
Dicevo che non c'è forma di indeterminazione perché al numeratore c'è un infinito di ordine esponenziale contro \(2x\sin(x^2)\), quindi il numeratore tende a \(+\infty\), mentre il denominatore tende a zero. Quindi dipende dal segno del denominatore se il risultato è \(\pm\infty\) oppure che il limite non esiste, in effetti un po' di indeterminazione c'è, nel senso che un po' di lavoro bisogna farlo.
@pilloeffe: UUh ho capito perché non ci siamo capiti ( 
). Ho detto "sicuro?" come se dubitassi della tua risposta e invece avevo solo letto male. Secondo me la tua risposta è corretta.
Certe volte rispondo troppo di fretta.
). Ho detto "sicuro?" come se dubitassi della tua risposta e invece avevo solo letto male. Secondo me la tua risposta è corretta.Certe volte rispondo troppo di fretta.
No problem... 
Questo è vero anche per me, per cui potrebbe anche capitare che scriva corbellerie, qualche volta è successo...
"dissonance":
Certe volte rispondo troppo di fretta.
Questo è vero anche per me, per cui potrebbe anche capitare che scriva corbellerie, qualche volta è successo...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo