Limite

[krauser\1]

Salve a tutti,non riesco a svolgere questo limite,non posso usare de l'hopital. Consigli?

$ lim x->0 ((e^-x^2)+1-2cosx)/(x^4) $

[francicko]

Sì può risolvere con i limiti notevoli (asintotici).

[krauser\1]

Si,l'avevo capito. Solo che non so a quale ricondurmi,ho provato più metodi e non mi trovo.

[Weierstress]

In realtà qui ti conviene sviluppare con Taylor (fino al quarto ordine)... ce lo suggerisce quella somma algebrica al numeratore che è fatta a puntino per fregare i limiti notevoli

[pilloeffe]

Ciao krauser\,

Confermo quanto scritto da Weierstress...
Si ha:

$ lim_{x \to 0} (e^{-x^2} +1-2cosx)/(x^4) = lim_{x \to 0} (e^{-x^2} - 1 +2(1 - cosx))/(x^4) $

Avendosi la cancellazione dei termini in $x^2 $, è necessario usare gli sviluppi fino a $x^4 $. Il risultato è $frac{5}{12} $.

[francicko]

Sì, avete ragione, non avevo visto il coefficiente di $cosx $, avevo considerato $lim_(x->0)(e^(-x^2)+1-cosx)/x^4$.
Quindi bisogna considerare gli sviluppi di Taylor sino al termine in $x^4$.

[krauser\1]

Se volessi risolverlo con i limiti notevoli? avevo pensato di spezzarlo in

$ lim_(x -> 0) ((e^(-x^2)-1)/x^4)+ lim_(x -> 0) (2*(1-cosx)/((x^4))) $

Non penso sia sbagliato come ragionamento,no? Solo che risolvendo il primo limite notevole mi viene $ -1/x^2 $ e al secondo + $ 1/x^2 $ e così mi viene 0 e non mi trovo..Volevo evitare di usare Taylor

[pilloeffe]

"krauser\":Volevo evitare di usare Taylor

Anch'io avrei voluto, ma questa volta non si può...

[francicko]

Le forme che hai ottenuto non sono dei limiti notevoli, inoltre se osservi attentamente i passaggi, sei semplicemente passato da una forma indeterminata $0/0$ ad un altra forma indeterminata $infty-infty $ , essendoci il coinvolgimento di termini successivi ad $x^2$ , l'unico modo per arrivare al risultato corretto è usare gli sviluppi in serie, l'uso dei limiti notevoli che corrispondono allo sviluppo in serie arrestato al primo termine, $x^2$ in questo caso, risulta fallace.

[Weierstress]

Proprio non si scampa