Limite
Salve a tutti, ho difficoltà a risolvere questo limite. Ho provato con l'hopital e con qualche sostituzione ma non sono riuscito a trovare quella giusta. Qualcuno mi darebbe una mano gentilmente?
$ lim_(x -> 1)[(root(3)(2 x^2 + 6 x) - 2)^2/(Cos[x Pi/2] Sin[Pi x])] $
$ lim_(x -> 1)[(root(3)(2 x^2 + 6 x) - 2)^2/(Cos[x Pi/2] Sin[Pi x])] $
Risposte
Puoi ricondurti a dei limiti notevoli: il numeratore si può riscrivere come
$({2x^2+6x-8}/{root(3)((2x^2+6x)^2)+2root(3)(x^2+6x)+4})^2$
e il denominatore come
$2sin({pi x}/2)cos^2({pi x}/2)=2sin({pi x}/2)sin^2(pi/2 (1-x))=2sin({pi x}/2)({sin(pi/2 (1-x))}/{pi/2 (1-x)})^2*pi^2/4 (1-x)^2$.
Ora, portando fuori tutti i termini che non tendono a $0$, rimane $({2x^2+6x-8}/{x-1})^2=(2x+8)^2$. Il risultato finale dovrebbe essere $25/{18pi^2}$.
$({2x^2+6x-8}/{root(3)((2x^2+6x)^2)+2root(3)(x^2+6x)+4})^2$
e il denominatore come
$2sin({pi x}/2)cos^2({pi x}/2)=2sin({pi x}/2)sin^2(pi/2 (1-x))=2sin({pi x}/2)({sin(pi/2 (1-x))}/{pi/2 (1-x)})^2*pi^2/4 (1-x)^2$.
Ora, portando fuori tutti i termini che non tendono a $0$, rimane $({2x^2+6x-8}/{x-1})^2=(2x+8)^2$. Il risultato finale dovrebbe essere $25/{18pi^2}$.
Non ho capito come hai sviluppato il numeratore
Non è altro che una razionalizzazione: in generale si ha $y^3-8=(y-2)(y^2+2y+4)$, da cui $y-2={y^3-8}/{y^2+2y+4}$ (nel tuo caso $y=root(3)(2x^2+6x)$).
perfetto grazie mille
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