Limite!

[roberto.biccario]

Chiedo aiuto per un altro limite:
$lim_(x->+infty) x(e^(x/(x^2+1))-xsin(1/x)) $
Il risultato secondo Walframalpha è $1$.

Io come primo passaggio ho visto che il $lim_(x->+infty) e^(x/(x^2+1)$ è uguale a $1$ e inserendo questo risultato nel limite iniziale, mi ritrovo con:
$lim_(x->+infty) x(1-xsin(1/x)) $
poi so che $lim_(x->+infty) xsin(1/x) $ è uguale a $1$, e dunque avrei $lim_(x->+infty) x(1-1) = 0 $ ma questo risultato è errato..dove ho sbagliato?
Il mio dubbio principale riguarda quando realmente posso calcolare SEPARATAMENTE una parte del limite come ho fatto io per l'esponenziale..non si può fare sempre?

[JackMek]

Nell'ultima formula hai una forma indeterminata $ [0*infty]$

[roberto.biccario]

ma i passaggi precedenti sono giusti? nel caso come procedo una volta arrivato a $lim_(x->+infty) x(1-sin(1/x)) $ ?

[piero_1]

@SteveMaster
come suggerito da JackMek
quando sei di fronte a forme indeterminate è un errore sostituire un termine che tende a 1, come se valesse esattamente 1. In generale non possiamo, in una forma di indeterminazione, sostituire a uno dei termini il suo limite.

[roberto.biccario]

ok ok capito..e come posso procedere per la risoluzione?

[francicko]

Darò che e' per $ x->infty $ $x/(x^2+1)~1/x $, ed $e^(1/x)~1+1/x $ possiamo scrivere $lim_(x->infty)x×(1+1/x-sin(1/x)/(1/x))$, ma $sin (1/x)/(1/x)~1$, in definitiva avremo $lim_(x->infty)x(1+1/x-1)=lim_(x->infty)x(1/x)=1$, che e' il valore esatto del limite.
Penso sia giusto,saluti!

[roberto.biccario]

grazie ottima risoluzione io cerco sempre di evitare le approssimazioni ma in questo caso mi pare siano necessarie

[francicko]

A dire il vero forse dovevo scrivere cosi:
essendo che $sin (1/x)~1/x $, sostituendo avremo,
$lim_(x->infty)x×(1+1/x-(1/x)/(1/x))=lim_(x->infty)x×(1+1/x-1)=lim_(x->infty)x×(1/x)=1$
in quanto come giustamente affermato da @piero, trattandosi di una forma indeterminata, non possiamo sostituire ad uno dei termini il valore del suo limite;
Saluti!