Limite

[saviodp7]

Ciao a tutti e grazie in anticipo per il vostro aiuto, ho un problema con un limite delle passate prove di esame del mio professore, ho provato a risolverlo in diversi modi ma la situazione peggiora solamente, il limite è:
$lim_(x->0)(sqrt(1+sen(2x))-e^x)/((cosx)^(3/4)-1)$

[ostrogoto1]

$ (sqrt(1+sen(2x))-e^x)/((cosx)^(3/4)-1)=(sqrt(1+2x+o(x^2))-(1+x+x^2/2+o(x^2)))/((1-(x^2)/2+o(x^2))^(3/4)-1)=((1+x-1/2x^2+o(x^2))-(1+x+x^2/2+o(x^2)))/(1-3/8x^2+o(x^2)-1)=(-x^2+o(x^2))/(-3/8x^2+o(x^2))rarr8/3 $
per $ xrarr0 $

[saviodp7]

"ostrogoto":$ (sqrt(1+sen(2x))-e^x)/((cosx)^(3/4)-1)=(sqrt(1+2x+o(x^2))-(1+x+x^2/2+o(x^2)))/((1-(x^2)/2+o(x^2))^(3/4)-1)=((1+x-1/2x^2+o(x^2))-(1+x+x^2/2+o(x^2)))/(1-3/8x^2+o(x^2)-1)=(-x^2+o(x^2))/(-3/8x^2+o(x^2))rarr8/3 $
per $ xrarr0 $

Innanzitutto grazie della risposta,non mi era proprio venuto in mente di usare Taylor, avevo provato con i limiti notevoli e cercando di usare de l'Hopital ma senza successo, però non capisco bene questo passaggio:
$(sqrt(1+2x+o(x^2))-(1+x+x^2/2+o(x^2)))/((1-(x^2)/2+o(x^2))^(3/4)-1)=((1+x-1/2x^2+o(x^2))-(1+x+x^2/2+o(x^2)))/(1-3/8x^2+o(x^2)-1)$
probabilmente sono problemi di precorso :\

[ostrogoto1]

Ho usato due sviluppi in serie:

$ sqrt(1+x)=1+x/2-x^2/8+o(x^2) $

$ (1+x)^alpha=1+alphax+o(x) $

[saviodp7]

Grazie per la risposta! Hai chiarito tutti i miei dubbi