Limite
E' da un po' che cerco di risolvere questo limite (senza usare Taylor).
$ lim_(x -> 0) (arctanx-sinx)/(x*(1-cosx)) $
Ho provato a vederlo in vari modi tipo:
$ lim_(x -> 0) x(arctanx/x-sinx/x)/(x*(1-cosx)) $
Ma a causa del fatto che
$ lim_(x -> 0) x(arctanx/x-sinx/x)=0 $
Proprio non riesco a eliminare la forma indeterminata...
Ditemi almeno che non è facilissimo
$ lim_(x -> 0) (arctanx-sinx)/(x*(1-cosx)) $
Ho provato a vederlo in vari modi tipo:
$ lim_(x -> 0) x(arctanx/x-sinx/x)/(x*(1-cosx)) $
Ma a causa del fatto che
$ lim_(x -> 0) x(arctanx/x-sinx/x)=0 $
Proprio non riesco a eliminare la forma indeterminata...
Ditemi almeno che non è facilissimo
Risposte
Io utilizzerei gli sviluppi di Taylor (che dovresti conoscere):
\[\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x− \sin x}{x(1-\cos x)} \]
sostituisco gli sviluppi di Taylor fino al terzo ordine per seno, coseno e arcotangente:
\[\lim_{x \to 0} \frac{x-x^3/3-x-x^3/6+o(x^3)}{x(1-1+x^2/2+o(x^3))}= -\frac{x^3}{6} \cdot \frac{2}{x^3}=-\frac{1}{3}\]
Ciao
\[\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x− \sin x}{x(1-\cos x)} \]
sostituisco gli sviluppi di Taylor fino al terzo ordine per seno, coseno e arcotangente:
\[\lim_{x \to 0} \frac{x-x^3/3-x-x^3/6+o(x^3)}{x(1-1+x^2/2+o(x^3))}= -\frac{x^3}{6} \cdot \frac{2}{x^3}=-\frac{1}{3}\]
Ciao
"gcappellotto":
Io utilizzerei gli sviluppi di Taylor (che dovresti conoscere):
\[\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x− \sin x}{x(1-\cos x)} \]
sostituisco gli sviluppi di Taylor fino al terzo ordine per seno, coseno e arcotangente:
\[\lim_{x \to 0} \frac{x-x^3/3-x-x^3/6+o(x^3)}{x(1-1+x^2/2+o(x^3))}= -\frac{x^3}{6} \cdot \frac{2}{x^3}=-\frac{1}{3}\]
Ciao
Purtroppo no
Non si riesce ad usare i limiti notevoli? perché abbiamo studiato solo questi per il momento (sono al liceo).
per curiosità, questo esercizio ti è stato assegnato, o vorresti risolverlo per curiosità personale?
Non credo che si possa calcolare con i prodotti notevoli in quanto non sono altro che lo sviluppo di Taylor al primo ordine.
In questo caso il numeratore si annulla; come mai? Operando in questo modo si "perdono" delle informazioni che invece rimangono se si procede con lo sviluppo fino al terzo ordine (in pratica si tratta di derivare). Ma forse non avete ancora studiato le derivate...?
Ciao
Non credo che si possa calcolare con i prodotti notevoli in quanto non sono altro che lo sviluppo di Taylor al primo ordine.
In questo caso il numeratore si annulla; come mai? Operando in questo modo si "perdono" delle informazioni che invece rimangono se si procede con lo sviluppo fino al terzo ordine (in pratica si tratta di derivare). Ma forse non avete ancora studiato le derivate...?
Ciao
"gcappellotto":
per curiosità, questo esercizio ti è stato assegnato, o vorresti risolverlo per curiosità personale?
Non credo che si possa calcolare con i prodotti notevoli in quanto non sono altro che lo sviluppo di Taylor al primo ordine.
In questo caso il numeratore si annulla; come mai? Operando in questo modo si "perdono" delle informazioni che invece rimangono se si procede con lo sviluppo fino al terzo ordine (in pratica si tratta di derivare). Ma forse non avete ancora studiato le derivate...?
Ciao
Non l'ho trovato sul libro "matematica blu" della zanichelli ma su internet. Meglio così perchè quando un esercizio non mi esce mi fa andare in crisi ahah.
Grazie e ciao
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