$lim_(x->0^+) (x+x^3 + sqrt(tgx))/((e^x-1)^2 + sen x) $

[GDLAN1983]

Io so che trattandosi di infinitesimi l'ordine del numeratore per $x->0$ è $ 1/2$ in quanto la prevalenza l'ha :

$ sqrt (tgx) $ con ordine $1/2$ rispetto a $ x =$ ordine $1 $ e $x^3$ ordine $3$ e d'altro canto per quanto riguarda il denominatore:

l'ordine di infinitesimo ( per $x->0) $ è $1$ ed è dato dalla : $ sen x = $ ordine $1$ mentre :

ord $ [(e^x - 1 )^2] = 2 $ e perciò il limite diventa :

$lim_(x->0^+) sqrt (tgx)/(sen x) = + infty$.


Detto questo avrei piacere se possibile vedere risolvere questo limite in un modo classico il piu' possibile senza ricorrere agli infinitesimi. E' possibile ? Io non ci levo le gambe .

Grazie

Roby

[fireball1]

Metti in evidenza $sqrt(tanx)$ al numeratore e $sin x$ al denominatore, dopodiché usa i limiti notevoli.

[GDLAN1983]

Grazie lo provero' . Buona giornata .

[GDLAN1983]

Devo dire che con un solo passaggio di Hopital si toglie l'indeterminatezza ed infatti dopo aver derivato il Num ed il Den si ottiene:

$ +infty/1 $ , $= + infty$ come doveva tornare.

[fireball1]

Ma non dovevi usare il metodo più "pulito" possibile? Il meglio sono sempre i limiti notevoli...

[Luca.Lussardi]

Dipende a volte l'Hopital può davvero dare l'idea giusta del perchè si ha un certo comportamento; per esempio $\lim_{x \to +\infty}e^x/x$. Se uno lo vede con l'Hopital viene subito $+\infty$ e osservando il rapporto delle derivate uno capisce anche perchè l'esponenziale cresce molto più delle potenze in generale: la sua pendenza resta sempre di tipo esponenziale mentre la pendenza delle potenze si abbassa di grado.

[K.Lomax]

Dividi e moltiplica per una stessa quantità a denominatore e a numeratore e sfrutta i limiti notevoli.
In particolare, a denominatore ottieni:

$(\frac{e^x-1}{x})^2*x^2+\frac{sinx}{x}*x$

A numeratore invece:

$\sqrt{\frac{tanx}{x}*x}

Con $x->0$ i precedenti rapporti tendono tutti ad 1. Ti rimane una banale forma polinomiale.

Ciao