Lemma di convessità
salve,
devo dimostrare:
Sia $f:(a,b)->R$ la funzione $f$ è convessa in $(a,b)$ se e solo se:
$AA x,y,z in (a,b) : x
(non capisco la dimostrazione del libro quindi ho provato a fare da solo, vorrei sapere se è corretta)
dimostrazione:
supponiamo $f$ convessa si ha:
$f(y)<=f(x)+((f(z)-f(x))/(z-x))*(y-x)$ per qualsiasi $y$
da cui
$(f(y)-f(x))/(y-x)<=((f(z)-f(x))/(z-x))$
inoltre
$f(y)<=f(z)+((f(z)-f(x))/(z-x))*(y-z)$ per qualsiasi $y$
da cui
$(f(y)-f(z))/(y-z)>=((f(z)-f(x))/(z-x))$
quindi
$(f(y)-f(x))/(y-x)<=(f(z)-f(x))/(z-x)<=(f(z)-f(y))/(z-y)$
fine.
la condizione inversa non mi interessa.
grazie!
devo dimostrare:
Sia $f:(a,b)->R$ la funzione $f$ è convessa in $(a,b)$ se e solo se:
$AA x,y,z in (a,b) : x
(non capisco la dimostrazione del libro quindi ho provato a fare da solo, vorrei sapere se è corretta)
dimostrazione:
supponiamo $f$ convessa si ha:
$f(y)<=f(x)+((f(z)-f(x))/(z-x))*(y-x)$ per qualsiasi $y$
da cui
$(f(y)-f(x))/(y-x)<=((f(z)-f(x))/(z-x))$
inoltre
$f(y)<=f(z)+((f(z)-f(x))/(z-x))*(y-z)$ per qualsiasi $y$
da cui
$(f(y)-f(z))/(y-z)>=((f(z)-f(x))/(z-x))$
quindi
$(f(y)-f(x))/(y-x)<=(f(z)-f(x))/(z-x)<=(f(z)-f(y))/(z-y)$
fine.
la condizione inversa non mi interessa.
grazie!
Risposte
Mi sembra corretta.
"giovx24":
supponiamo $f$ convessa si ha:
$f(y)<=f(x)+((f(z)-f(x))/(z-x))*(y-x)$ per qualsiasi $y$
Vabbé, ma questo lo devi dimostrare però. A meno che tu non prenda questo come definizione di convessità. Perché, per me, \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è convessa se
\[\tag{1}
f((1-\lambda)x+\lambda y)\le (1-\lambda)f(x) +\lambda f(y), \qquad \forall \lambda\in[0, 1], \]
e ogni \(x, y\in\mathbb R\) (o nell'intervallo di definizione della \(f\) se la vuoi considerare come definita su un intervallo proprio).
Adesso a me non sembra immediato che (1) sia equivalente a quello che hai scritto tu.
"dissonance":
[quote="giovx24"]
supponiamo $f$ convessa si ha:
$f(y)<=f(x)+((f(z)-f(x))/(z-x))*(y-x)$ per qualsiasi $y$
Vabbé, ma questo lo devi dimostrare però. A meno che tu non prenda questo come definizione di convessità. Perché, per me, \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è convessa se
\[\tag{1}
f((1-\lambda)x+\lambda y)\le (1-\lambda)f(x) +\lambda f(y), \qquad \forall \lambda\in[0, 1], \]
e ogni \(x, y\in\mathbb R\) (o nell'intervallo di definizione della \(f\) se la vuoi considerare come definita su un intervallo proprio).
Adesso a me non sembra immediato che (1) sia equivalente a quello che hai scritto tu.[/quote]
si so come dimostrarlo, molto piu' difficile è invece ricordare la definizione di funzione convessa
Non è difficile se lo scrivi in questo modo:
\[
f(\alpha x + \beta y)\le \alpha f(x)+\beta f(y), \qquad \forall \alpha, \beta \ge 0,\ \alpha+\beta=1.\]
L'unica cosa che ti devi ricordare è il fatto che se \(x, y\) sono punti di \(\mathbb R^n\) (fatti una immagine mentale di \(\mathbb R^2\), il piano), allora
\[
\{\alpha x + \beta y\ :\ \alpha + \beta=1,\ \alpha,\beta \ge 0\}\]
è il segmento di estremi \(x\) e \(y\). E questo è un fatto che puoi ricondurre alla teoria dei centri di massa, se ti piace. (Infatti, \((\alpha, \beta)\) si chiamano coordinate baricentriche).
\[
f(\alpha x + \beta y)\le \alpha f(x)+\beta f(y), \qquad \forall \alpha, \beta \ge 0,\ \alpha+\beta=1.\]
L'unica cosa che ti devi ricordare è il fatto che se \(x, y\) sono punti di \(\mathbb R^n\) (fatti una immagine mentale di \(\mathbb R^2\), il piano), allora
\[
\{\alpha x + \beta y\ :\ \alpha + \beta=1,\ \alpha,\beta \ge 0\}\]
è il segmento di estremi \(x\) e \(y\). E questo è un fatto che puoi ricondurre alla teoria dei centri di massa, se ti piace. (Infatti, \((\alpha, \beta)\) si chiamano coordinate baricentriche).
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